Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли

Дисперсия непрерывной случайной величины. Стандартное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называется Математическое ожидание Е (Х — mх)2 квадрата отклонения Х от её математического ожидания mх = Е (Х). Д. случайной величины Х обозначается через D (X) или через σ2X. Квадратный корень из Д. (т. е. σ, если Д. есть σ2) называется средним квадратичным отклонениемДля непрерывной случайной величины x, заданной плотностью распределения:

Дисперсия и квадратный корень из дисперсии, называемый стандартным отклонением, характеризуют среднее отклонение от среднегозначения выборки. Среди этих двух величин наиболее важное значение имеет стандарт отклонение. Это значение можно представитькак среднее расстояние, на котором находятся элементы от среднего элемента выборки.

Стандартное отклонение вы числяется путем определения сначала дисперсии и затем вычисления квадратного корня из дисперсии.

 

Понятие и примеры системы случайных величин.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

 

Примеры случайных величин:

1) число попаданий при трех выстрелах;

 

2) число вызовов, поступавших на телефонную станцию за сутки;

 

3) частота попадания при 10 выстрелах.

 

 

 

Характеристика закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли

если влияние на сумму отдельных слагаемых является равномерно малым, закон распределения суммы приближается к нормальному. Математическая формулировка этого утверждения дается в группе теорем, называемой законом больших чисел.

Теорема (неравенство Чебышева). p( | X – M (X)| < ε) ≥ D (X) / ε2.

Теорема 13.2 (теорема Чебышева). Если Х1, Х2,..., Хп – попарно независимые случайные величины, дисперсии которых равномерно ограничены (D(Xi) ≤ C), то для сколь угодно малого числа ε вероятность неравенства

Х1 +Х2 +...+Хп −М(Х1)+М(Х2)+...+М(Хп) <ε будет сколь угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико. Замечание. Иначе говоря, при выполнении этих условий

limp(Х1 +Х2 +...+Хп −М(Х1)+М(Х2)+...+М(Хп) <ε)=1.

Теорема (Бернулли). Если в каждом из п независимых опытов вероятность р появления события А постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероят- ность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений А в п опытах от р будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1