Ковариация двух сл. вел-н, ее св-ва, коэффициент корреляции двух сл. вел-н и его св-ва

Опр. Ковариацией двух сл. вел-н. Х и Y, заданных на одном и томже вероятн-ом простр-ве, наз-ся мат. ожидание произведения отклонений сл-ых вел-н Х и Y от их мат. ожиданий. Сov(X, Y)= M [(X – MX)(Y – MY)]. Она показ-ет зависят ли вел-ны Х и Y друг от др. или нет.

Теор. Если Х и Y независ-ые сл. вел-ны, то Сov(X, Y)=0. Док: По опред. Сov(X, Y)= M [(X – MX)(Y – MY)]. Раскроем скобки, тогда Сov(X, Y)= M [(X · Y – X· (MY =const)– Y ·(MX =const)+(MX·MY =const))= M (XY)– MY·MX–MX·MY+MX·MY = MX·MY–MY·MX =0, т.к. MC = C и если Х и Y независимы, то M (XY)= MX·MY и M (XY)– MX·MY =0 _■

Теор. Если сл. вел-ны Х ₁ и Х ₂ попарно независимы, то D(Х ₁+ Х ₂)=D(Х ₁)+D(Х ₂) и D(Х ₁– Х ₂)=D(Х ₁)+D(Х ₂). Док: D(Х ₁+ Х ₂)= M [(Х ₁+ Х ₂– M (Х ₁+ Х ₂))²] = M [ ((Х ₁– MХ ₁)+(Х ₂– MХ ₂))²]= M [ (Х ₁– MХ ₁)²+2(Х ₁– MХ ₁) · (Х ₂– MХ ₂)+(Х ₂– MХ ₂)²]= M [ (Х ₁– MХ ₁)²]+2M[(Х ₁– MХ ₁) · (Х ₂– MХ ₂)]+M[(Х ₂– MХ ₂)²]= D X ₁+ (2 Сov(X ₁, X ₂)=0)+ D X ₂= D X ₁+ D X _2■ В ходе док-ва получили следующ. св-во D(Х ₁± Х ₂)= D(Х ₁)+ D(Х ₂) ± 2 Сov(X ₁, X ₂) для всех сл. вел-н Х ₁ и Х ₂.

Опр. Пусть на одном и томже вероят-ом простр-ве заданы сл. вел-ны X и Y. Коэффиц-ом корреляц. X и Y наз-ся число – отношение ковариации к произведен. среднеквадрат-ых отклонений этих вел-н r(X, Y)=Cov(X, Y)/

Опр. Ковариацией двух непрерывн. сл. вел-н Х и Y назыв-ся мат. ожид. сл-ой вел-ны (X – MX)(Y – MY), где (X – MX) – отклонение сл. вел-ны Х от соего мат. ожид. (центрирование сл-ой вел-ны.), которое выражается в интег-рале Сov(X, Y)=

Опр. Коэффиц-ом корреляц. двух непрерывн. сл. вел-н X и Y наз-ся число r(X, Y)= Cov(X, Y)/

Биноминальное распределен., вычисление мат. ожид. и дисперсии бином-ой сл. вел-ны.

Опр. Пусть вероятность Р{ Х = k } = , где 0£ р £1, q =1– p, k = 0, 1, 2,…, n. Тогда говор., что сл. вел-на X имеет биноминальн. распр. Бином. распр. имеет сл. вел. S_n – числ. успех. в серии из n назавис. испыт. Бернулли. , .

Вычисл. МХ: S_n = X ₁+ X ₂+…+ X _n, M S_n =M X ₁+M X ₂+…+M X _n. Вычислим M X_k, 1 £ k £ n: M X_k =1 p +0 q = p Þ M S_n = np.

Вычисл. DХ: S_n = X ₁+ X ₂+…+ X _n, по услов. испытания Берн. Независимы, поэтому D S_n =D X ₁+D X ₂+…+D X _n. Вычислим D X_k при k =1,2… n: D X_k = M(X_k)²– (M X_k)²= M X_k – (M X_k)²= р – р ² = pq. Поэтому D S_n = npq.