Волновая функция. Уравнение Шредингера

Элементы квантовой механики.

.

Квантовая механика - теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц и их систем, а также связи величин, характеризующих частицы и их системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми на опыте.

До начала XIX века ученые считали, что свет – поток корпускул, мельчайших частиц. Но в 1818 году Френель, используя волновое представление природы света, объяснил все интерференционные, дифракционные, поляризационные явления. Победа волновой теории была окончательной и ее признание всеобщим.

Однако, ряд явлений не удавалось объяснить исходя из волновой природы электромагнитного поля. В частности, не удавалось объяснить фотоэффект и законы излучения абсолютно черного тела. Разрешить указанные противоречия удалось после того, как Макс Планк в 1900 году ввел понятие квантов энергии и объяснил законы излучения абсолютно черного тела, а Эйнштейн, используя гипотезу световых квантов - фотонов объяснил фотоэффект.

Согласно этим представлениям – любая электромагнитная волна, в частности свет, оптическое излучение, является потоком квантов энергии, фотонов излучения. Эти кванты энергии, фотоны ведут себя подобно материальным частицам. Они обладают энергией и импульсом:

Е = hn, р = hn/c = h/l, (1.1)

где Е - энергия фотона, n - частота излучения, с - скорость света, l - длина волны излучения, р - импульс фотона, h = 6,63*10^-34Дж с - постоянная Планка.

Таким образом, приходим к парадоксу - оптическое излучение, свет обладает одновременно свойствами, характерными как для волн, так и для дискретных частиц.

В 1924 году Луи де Бройль предположил, что двойственной природой обладает не только оптическое излучение, но и любые другие частицы микромира: электроны, протоны и т.д. То есть и для них должны выполняться соотношения:

Е = hn, р = hn/c = h/l, (1.2)

здесь Е и р - энергия и импульс микрочастицы, l - длина волны микрочастицы, n - частота этой волны.

Гипотеза де Бройля подтвердилась в 1927 году, когда экспериментально наблюдали явление дифракции электронов на поверхности кристалла - чисто волновое явление.

Итак, всем объектам микромира свойственно проявление как волновых, так и корпускулярных свойств: корпускулярно-волновой дуализм (корпускулярно-волновая двойственность).

Причина двойственной природы поведения объектов микромира в том, что мы пытаемся объяснить то или иное явление с помощью наглядной картины, основанной на обыденном опыте человека. Классическая физика как раз и ограничивается рассмотрением явлений, которые имеют в языке адекватный словесный эквивалент.

Но для описания явлений микромира наши обыденные представления не подходят. Нет подходящего словесного описания для объектов микромира, которое бы объединяло и волновую и корпускулярную природу микрочастиц. Поэтому можно утверждать, что к волновому и корпускулярному описанию следует относиться как к равноправным и дополняющим друг друга. Проявление же волновых или корпускулярных свойств микрочастиц зависит от условий эксперимента. Эксперимент, предназначенный для описания волновых свойств частицы, автоматически исключает одновременное определение какого-либо корпускулярного свойства и наоборот.

 

.

Двойственная природа частиц выражается и в так называемых соотношениях неопределенностей, сформулированных в 1927 году Гейзенбергом.

Согласно этому соотношению невозможно одновременно точно определить положение микрочастицы и ее импульс. Это записывается следующим образом:

Dх Dр ³ ћ, (1.3)

где Dх - неопределенность координаты микрочастицы, Dр неопределенность ее импульса, ћ = h2p. Отсюда следует: если точно известен импульс частицы р, т.е. Dр = 0, то невозможно определить ее положение и Dх ® ¥. Аналогично для координаты микрочастицы.

Соотношение неопределенностей может быть записано и в следующем виде:

DЕ Dt ³ ћ, (1.4)

погрешность измерения энергии частицы определяется интервалом времени измерения в течении которого может быть произведено данное измерение.

 

Волны де Бройля

Любой микрочастице соответствует своя волна, определяемая соотношениями де Бройля (1.2):

Е = hn, р = hl.

Сначала ученые предполагали, что волновым свойствам микрочастицы соответствует некое реальное физическое поле, подобное электромагнитному полю, излучаемому, например, антенной телецентра или радиолокационной станции.

Однако опыты по дифракции электронов на поверхности кристалла и интерференции на двух щелях показали, что вопрос значительно сложнее.

Из этих экспериментов был сделан вывод, что однозначно предсказать поведение отдельного электрона нельзя. Можно лишь говорить о том, что отдельный электрон с определенной долей вероятности попадет в то или иное место. И лишь при большом числе анализируемых электронов проявляются строгие закономерности их поведения - в данном случае проявление его волновых свойств.

Такое поведение частиц привело к статистическому толкованию волн де Бройля. Это толкование позволяет сочетать корпускулярные свойства частиц, их атомизм с волновыми явлениями.

При большом числе электронов, количество электронов, попавших в то или иное место, пропорционально интенсивности волн де Бройля в соответствующих направлениях.

Если же речь идет не о большом числе электронов, а об одном, то интенсивность волн де Бройля указывает вероятность попадания электрона в то или иное место, но вовсе не обязывает электрон к тому или иному поведению.

В таком понимании волны де Бройля не имеют ничего общего с волнами, рассматриваемыми в классической физике.

Итак, волны де Бройля дают статистическое описание движения микрочастиц: они определяют вероятность обнаружения частицы в данном месте пространства в данный момент времени.

 

Волновая функция. Уравнение Шредингера.

Волновые свойства микрочастиц можно описать волновой функцией - Y(x,y,z,t). Вероятность обнаружить частицу в произвольный момент времени t в любой точке с координатами x,y,z пропорциональна квадрату модуля - |Y(x,y,z,t)|², т.е. интенсивности волновой функции. Квадрат модуля используется для того, чтобы вероятность в любом случае была положительна. Волновая функция является математическим описанием волны де Бройля микрочастицы. Для простейших случаев вид волновой функции достаточно прост. Рассмотрим микрочастицу, движущуюся вдоль оси х от - ¥ до + ¥ (рис.1.6). Пусть импульс микрочастицы точно известен и равен р. Можно ли в качестве волновой функции взять

Y = Acos(kx - wt)?

Здесь: к - волновое число:

k = 2pl = 2pр/h = (1/ ) ;

w = 2pсl; l - длина волны де Бройля; с - скорость света. В этом случае

½ Y²½ = A²cos²(kx - wt). (1.5)

Видно, что в любой момент времени t на оси х нашлись бы точки, в которых невозможно обнаружить микрочастицу, тогда как в действительности ее можно с равной вероятностью найти в любой точке на оси. Это следует из соотношения неопределенностей DхDр ³ ћ: так как р точно известен, то Dр = 0 и Dх ® ¥, что и означает равновероятное нахождение частицы в любой точке оси х. Поэтому для Y не подходят функции вида (1.5).

Попробуем в качестве волновой функции взять

Y = A (1.6)

Интенсивность волновой функции, поскольку она комплексная, определяется следующим образом:

|Y|² = YY* = A A = А².

В данном случае получили, что интенсивность волновой функции не зависит от координаты х, т.е. микрочастица с равной вероятностью А² может находится в любой точке оси х от - ¥ до + ¥. Следовательно для свободно движущейся микрочастицы можно использовать волновую функцию в виде (1.6).

Волновая функция Y является решением соответствующего волнового уравнения, описывающего движение микрочастицы. Такое уравнение впервые угадал Шредингер. Вывести его он не мог. Вывести – это значит получить логическим путем из уже существующих законов, но они не применимы к принципиально новым подходам и понятиям в объяснении свойств микромира.

Если пренебречь зависимостью от времени, т.е. рассматривать стационарный случай, то уравнение Шредингера для случая одномерного свободного движения частицы с энергией Е вдоль оси х имеет вид:

, (1.7)

где:

к = . (1.8)

Если частица движется в потенциальном поле V(x), то волновое число принимает вид:

. (1.9)

Потенциальное поле V(х) характеризует действие внешних сил на микрочастицу.