Ламинарное прямолинейное установившееся движение вязких жидкостей в круглых трубах

 

Жидкость считаем несжимаемой (), движение установившемся .

Рассмотрим случай, когда траектории всех частиц будут строго прямолинейными и параллельными между собой. Направим ось Oх по оси трубы. Тогда положим равным [10].

Из уравнения неразрывности получим, что , то есть .

Вследствие этих предположений квадратичные члены инерции выпадают из полных уравнений движения. Из–за симметрии течения относительно оси трубы определяется не самими координатами y и z, а лишь их комбинацией , являющейся расстоянием точки сечения трубы от оси, то есть .

В общем случае одномерного течения ньютоновских и неньютоновских вязких жидкостей

(3.1)

где

Для вязкой ньютоновской жидкости

Для степенной жидкости

Для вязкопластичной жидкости

или

0 при

при

 

Распределение касательного напряжения по радиусу.

 

Выделим внутри жидкости, движущейся по трубе, цилиндр радиуса r и длиной l (рис. 3.1).

Рис. 3.1.

 

Рассмотрим силы, действующие на выделенный цилиндр. В сечении (1 – 1) действует сила давления P₁ = p₁πr², в сечении (2 – 2) – сила Р₂ = p₂πr²; p₁ и p₂ давления в сечениях (1 – 1) и (2 – 2). На боковую поверхность цилиндра действует сила трения Т = 2πrlτ, где τ – среднее по периметру касательное напряжение. Кроме того, на выделенный объем жидкости действует сила инерции, равная массе жидкости выделенного объема М, умноженной на ускорение движения его центра тяжести а_с со знаком "минус".

Уравнение равновесия всех сил в проекции на ось трубы имеет вид:

(p₁ –p₂) πr² - 2πrlτ + (-M а_с) = 0. (3.2)

Так как движение установившееся, то , а из уравнения неразрывности следует, что .

Следовательно,

Из (3.2) получим, что

(Δp = p₁ - p₂) (3.3)

Обозначим через среднее по периметру трубы напряжение трения. Тогда

(3.4)

где а — радиус трубы. Из (3.3) и (3.4) следует

(3.5)

Соотношение (3.5) показывает линейность связи между касательным напряжением и радиусом сечения трубы.

 

Распределение скорости в сечении трубы.

Запишем реологическое уравнение (3.1) в виде:

(3.6)

Проинтегрируем (3.6) по r от а до r. При r = а, скорость считаем равной нулю (условие прилипания):

(3.7)

Имеем

(3.8)

при r = а, τ = τ_а; при r = r; τ = τ. Тогда из (3.7) получим

(3.9)

Таким образом, мы получили формулу, дающую закон распределения скорости жидкости по радиусу при любом виде функции f₁(τ).

Определение расхода жидкости.

Для определения расхода жидкости найдем элементарный объемный расход через сечение, заключенное между концентрическими окружностями с радиусами r и r+dr.

Чтобы определить полный расход, проинтегрируем полученное соотношение

(3.10)

Интегрируем (3.10) по частям:

Учитывая, что

(a) = 0 и dυ = -f₁(τ)dr

и пользуясь формулами (3.8), получим

Или окончательно

(3.11)

Итак, определен расход жидкости в трубе при любом виде функции f₁(τ). Рассмотрим несколько примеров.