Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах 3 страница

5) (u(v))¢ = u¢(v)×v¢

Производные основных элементарных функций.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

Производная сложной функции.

Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда

Производная показательно-степенной функции.

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu

Производная функции заданной параметрически.

Дана функция . Тогда ее производная будет

Производная неявно заданной функции.

Дана функция . Тогда ее производная будет

Пример. Найти производную функции .

Сначала преобразуем данную функцию:

Пример. Найти производную функции .

Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции .

По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

		А-В	Г-Е	Ж-И	К-М	Н-П	Р-Т	У-Х	Ц-Ш	Щ-Э	Ю-Я
Фамилия	т
Имя	п

ЗАДАНИЯ

1. Найти производные функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

5) .

6) ;

2. Найти производную третьего порядка функции .

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Производная функции. Понятие о производных высших порядков.

2. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.

3. Свойства производной функции. Производные основных элементарных функций.

4. Дифференцирование неявных, параметрически заданных и заданных в полярных координатах функций.

5.

6.

Практическая работа №8
Тема: Применение дифференциала и производной.

Цель: Научиться применять геометрический и физический смысл производной, вычислять предел правилом Лопиталя, применять дифференциал к приближенным вычислениям.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Геометрический смысл производной.

Определение. Если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле: .

Определение. Если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение нормали к графику функции в точке можно найти по следующей формуле: .

Механический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки: , а ускорение .

Правило Лопиталя.

Рассмотрим функции , которые бесконечно малыв некоторой точке k. Если существует предел их отношений , то в целях устранения неопределённости или можно взять две производные – от числителя и от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Применение правила Лопиталя к неопределённости вида , , , , так же возможно после некого преобразования функции в пределе.

Дифференциал функции.

Производную функции можно записать через дифференциал функции в виде: . Откуда видно: , что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции при . Получим формулу для приближенных вычислений функции

.

То есть идея формулы приближенных вычислений состоит в том, чтобы точное значение функции заменить суммой значений и . Для этого необходимо начальное значение x ₀ разделить на два слагаемых , причем так, чтобы значение функции от числа x легко вычислялось.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

		А-В	Г-Е	Ж-И	К-М	Н-П	Р-Т	У-Х	Ц-Ш	Щ-Э	Ю-Я
Фамилия	т
Имя	п

ЗАДАНИЯ

1. Составить уравнение нормали и касательной к кривой в точке (n–m; m+n).

2. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=n с.

3. Найдите предел по правилу Лопиталя .

4. Вычислить приближенное значение функции , используя дифференциал функции.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Геометрический и физический смысл производной.

2. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

3. Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях.

4. Дифференциал функции, его геометрический смысл.

5. Полный дифференциал. Частные производные.

6. Приложение дифференциала функции к приближённым вычислениям.

7.

Практическая работа №9
Тема: Исследование функций и построение графиков.

Цель: Научиться исследовать функцию и строить ее график.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции. Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < -	- < x < -1	-1 < x < 0	0 < x < 1	1 < x <	< x < ¥
y¢¢ < 0	y¢¢ < 0	y¢¢ > 0	y¢¢ < 0	y¢¢ > 0	y¢¢ > 0
кривая выпуклая	кривая выпуклая	кривая вогнутая	кривая выпуклая	кривая вогнутая	кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < -	- < x < -1	-1 < x < 0	0 < x < 1	1 < x <	< x < ¥
y¢ > 0	y¢ < 0	y¢ < 0	y¢ < 0	y¢ < 0	y¢¢ > 0
функция возрастает	функция убывает	функция убывает	функция убывает	функция убывает	функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

		А-В	Г-Е	Ж-И	К-М	Н-П	Р-Т	У-Х	Ц-Ш	Щ-Э	Ю-Я
Фамилия	т
Имя	п

ЗАДАНИЯ

Исследовать функцию и построить ее график.

а) ; б)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Применение первой производной к исследованию функции и построению графика.

2. Применение второй производной к исследованию функции и построению графика.

3.

4.

Практическая работа №10
Тема: Нахождение производной функции нескольких переменных.

Цель: Научиться находить частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Частные производные первого порядка.

Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δ х, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆ _хz. Итак,

.

Аналогично получаем частное приращение z по у:

.

Полное приращение Δ z функции z определяется равенством

.

Если существует предел

,

то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М (х; у) по переменной х и обозначается одним из символов:

, , .

Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = ƒ (х; у) по переменной у:

.

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ (х; у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

Частные производные высших порядков.

Частные производные и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х; у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

;

;

;

;

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называетсясмешанной частной производной.

Полный дифференциал функции.

Пусть функция z = ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М (х; у) и имеет частные производные, то получаем формулу для вычисления полного дифференциала:

.

где и – частные дифференциалы функции z = ƒ (х; у).

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

Производная в данном направлении. Градиент функции.

Производная функции z = ƒ (х; у) в точке М (х; у) в направлении вектора называется , где .

Если функция ƒ (х; у) дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле

,

где α, β – углы, образованные вектором с осями Ox и Oy.

Производная по направлению дает скорость изменения функции z в направлении вектора l.

Определение. Градиентом функции z = ƒ (х; у) в точке М (х; у) называется вектор, выходящий из точки M и имеющий своими координатами частные производные функции z:

; .

Градиент функции и производная в направлении вектора l связаны формулой . Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке.

Определение. Касательная плоскость к поверхности в точке М₀ – это плоскость, содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку М₀.

Если поверхность задана уравнением (т.е. неявно), то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:

,

где – частные производные функции . При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных, то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами

Определение. Нормаль к поверхности в точке М₀ – это прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

– это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке М₀ и направляющему вектору : .

Экстремум функции двух переменных

Функция z = ƒ (х; у) имеет максимум (минимум) в точке М₀ (х ₀; у ₀), если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке М (х; у) некоторой окрестности точки M ₀, то есть ƒ (х ₀; у ₀) > ƒ (х; у) (соответственно ƒ (х ₀; у ₀) < ƒ (х; у)) для всех точек М (х; у), принадлежащих этой окрестности. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка M ₀, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция z = ƒ (х; у) достигает экстремума в точке М₀ (х ₀; у ₀), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть: и .