В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид

33.Дискретная случ.вел-на.Закон её распр-ния

Перемен.величина x,кот принимается в результате испытаний между конечной и бесконечной последовательности значений x1,x2,…,хn,…наз. дискретной случайной величиной.отношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответств. им вероятностями, наз. законом распред. дискретн. случайной величины.

Дискрет.случайная величина мот быть задана различн.способами

1)табличн

Значение х х1 х2 … хn Вероятность р Р1 Р2 … рn 2)графический

3)аналитический

Pk=(xk)

Т.к случайная величина принимает одно из своих возм значений, то .

Значение величины имеющая наиб вероятность называется модой

Диф-лы высших порядков

Рассм. дифференциал функции y=f(x) в произвольной точке промеж. (a,b):dy = f’(x)dx. Здесь dx - приращ. независимой переменной, кот. явл. числом и не зависит от x. Сам же дифференциал есть функция от x, и можно вычисл, дифференциал от этой функции: При этот дифференциал от дифференциала называется дифференциалом 2-ого порядка и вычисл. по формуле Аналогично вычисл. дифференциал любого порядка .

Формула Байеса.Вер-сть гипотез

Пусть событие А может происходить только с одним из событий В1,В2,…Вn,образуемых полную группу событий В1,В2,…Вn будем наз гипотезами.Вероятность события А может быть построена по формуле полной вероятности

P(A)=P(B1)*P(A/B1)+ P(B2)*P(A/B2)+ P(Bn)*P(A/Bn)(1)

A-нужно найти вероятность того,что оно произошло вместе с гипотезой P(Bk/A)

Вероятность событий A и Вк по правилу сложения вероятностей может быть представлено 2-мя способами:

P(AnBk)= P(Bk)*P(A/Bk)

P(AnBk)= P(A)*P(Bk/A)

Прировняли две части.После этого получили

P(Bk/A)= P(Bk)*P(A/Bk)/ P(A)

Знаменатель может быть найден по формуле полн вероятности(1)

Тогда формула Байесa принимает вид

P(Bk/A)= P(Bk)*P(A/Bk)/

Теорема Роля

Если вещественная функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

 

Если непрерывная функция обращается в ноль в n различных точках, то ее производная обращается в ноль по крайней мере в n − 1 различных точках[1], причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

Формула полной вер-сти

Пусть имеется группа событий B 1, B 2,..., Bn, обладающая следую­щими свойствами:

1) все события попарно несовместны

2) их объединение образует пространство элементарных исходов

В этом случае будем говорить, что B 1, B 2,..., Bn образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.

формула полной вероятности:

P(A)=P(B1)*P(A/B1)+ P(B2)*P(A/B2)+ P(Bn)*P(A/Bn)

Теорема Лагранжа

Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x0 (a < x0 < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = f(x) - k(x - a),

где - угловой коэффициент хорды AB (смотри рисунок 2).

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.

В самом деле, при x = a имеем F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), при x = b имеем

Кроме того, так как функция f(x) и k(x - a) непрерывны на [a, b] и диференцируемы в (a, b), то и функция F(x) = f(x) - k(x - a) непрерывна на [a, b] и диференцируема в (a, b).