Общие правила комбинаторики

ПРАКТИКУМ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В СХЕМАХ

 

 

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия для студентов

технических и гуманитарных специальностей

очной и заочной форм обучения

 

Кострома

 

УДК 519.2 (075)

 

Рецензенты:

д.п.н., профессор кафедры математического анализа ЯГПУ Е.И. Смирнов

 

 

Воронцова О.Р. Практикум по теории вероятностей: учебное пособие / О.Р.Воронцова. – Кострома: Изд-во КГТУ, 2007. – 45 с.

 

 

Практикум обеспечивает методическую поддержку раздела «Случайные события» и может быть использован как самоучитель, с помощью которого студент освоит технологию решения типовых задач. Пособие содержит большое количество задач для тренинга.

Практикум предназначен для студентов специальностей 280102, 280103, 030501 очной и заочной форм обучения.

 

 

УДК 519.2 (075)

 

 

ISBN …..

 

 

© Костромской государственный технологический университет

 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Математику уже затем учить следует, что

она ум в порядок приводит.

М.В. Ломоносов

 

Практикум:

· полностью обеспечивает методическую поддержку раздела «Элементы теории вероятностей»;

· может использоваться как самоучитель, с помощью которого студент освоит технологию решения типовых задач;

· принесет максимальную пользу, если студент будет читать его, одновременно выполняя предлагаемые задания.

 

В каждом разделе практикума выделены следующие логические части: «Краткая теоретическая справка», в которой излагаются основные теоретические положения; «Алгоритм решения задач» с пошаговым описанием действий; «Задачи для тренинга», где дана постановка задачи; «Технология решения задач по алгоритму», где показывается, как решить задание; «Вопросы для самоконтроля», «Рекомендуемая литература».

 

При работе с практикумом следует придерживаться следующей последовательности действий:

· сначала ознакомиться с рубрикой «Краткая теоретическая справка»;

· перейти к рубрике «Алгоритм решения задач»;

· внимательно прочитать текст задачи в рубрике «Задачи для тренинга»;

· приступить к рубрике «Технология решения», где пошагово показано, какие действия выполнять для достижения цели. При возникновении вопросов в процессе выполнения задачи рекомендуется вновь обратиться к рубрике «Краткая теоретическая справка».

 

Методика, которая положена в основу практикума, позволяет существенно ускорить процесс решения типовых примеров, достаточно быстро сформировать целостное представление о технологии работы и ее возможностях для решения задач.

Отличие данного практикума от аналогичной литературы по соответствующей тематике состоит в том, что освоение темы происходит в процессе решения задач по алгоритму действий.

 

Помните: удача сопутствует упорным!

Раздел 1

Элементы

Комбинаторики

 

 

· Общие правила комбинаторики.

· Основные комбинаторные конфигурации:

размещения, сочетания, перестановки.

Общие правила комбинаторики

Для успешного решения задач с использованием классического определения вероятности необходимо знать основные правила и формулы комбинаторики.

Комбинаторика – это раздел математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным правилам, можно составить из заданных объектов.

Основные правила комбинаторики: правило суммы и правило произведения.

 

Правила комбинаторики	Пример
Правило суммы
Если из некоторого конечного множества объект А можно выбрать m способами, объект В можно выбрать n способами, то выбор Аили В можно осуществить m+n способами	Сколькими способами можно выбрать одну четную или одну нечетную цифру из числа 145 678. Решение: В числе 145 678 три четные цифры и три нечетные. Четные цифры можно выбрать 3 способами, нечетные – тоже 3 способами. Четную или нечетную цифры: 3+3= 6 способами.
Если из некоторого конечного множества 1-й объект можно выбрать k1 способами, 2-й объект можно выбрать k2 способами, ……………………………………………, n -й объект можно выбрать kn способами то выбор или 1-го, или 2-го,…, или n -го объекта (любого из объектов) можно осуществить k1+k2+…+kn способами	Сколько существует способов выбора одного карандаша из коробки, содержащей 5 красных, 7 синих, 3 зеленых карандаша? Решение: Красный карандаш можно выбрать 5 способами, синий – 7 способами, зеленый – 3 способами. Красный или синий или зеленый карандаш можно выбрать: 5+7+3= 15 способами
Правило произведения
Если из некоторого конечного множества объект А можно выбрать m способами, объект В можно выбрать способами, то выбор пары А и В в указанном порядке можно осуществить m∙n способами	Сколькими способами можно выбрать одну четную и одну нечетную цифру из числа 145 678. Решение: В числе 145 678 три четные цифры и три нечетные. Четные цифру можно выбрать 3 способами, нечетные – тоже 3 способами. Четную и нечетную цифру: 3∙3= 9 способами
Если из некоторого конечного множества 1-й объект можно выбрать k1 способами, 2-й объект можно выбрать k2 способами, ……………………………………………, n -й объект можно выбрать kn способами то выбор и 1-го, и 2-го,…, и n -го объектов (всех n объектов) можно осуществить k1∙k2 ∙…∙kn способами	В столовой имеются 4 первых блюда, 5 вторых и 3 третьих. Сколькими способами можно составить из них полноценный обед? Решение: Первое блюдо можно выбрать 4 способами, второе – 5 способами, третье – 3 способами. Выбор обеда из трех блюд: первое и второе и третье можно выбрать: 4∙5∙3= 60 способами

 

 

1.2. Основные комбинаторные конфигурации: размещения, сочетания, перестановки

 

Обычно в комбинаторике рассматривается идеализированный эксперимент по выбору k элементов из n. При этом элементы:

а) не возвращаются обратно (схема выбора без возвращений);

б) возвращаются обратно (схема выбора с возвращением).

 

Схема выбора без возвращений
Размещение из n элементов по k элементам	Перестановка из n элементов	Сочетание из n элементов по k элементам
Схема выбора c возвращением
Размещение из n элементов по k элементам с повторениями	Сочетание из n элементов по k элементам с повторениями

 

Размещения
Размещением из n элементов по k элементам называют упорядоченный набор из k элементов, принадлежащих n- элементному множеству	Размещения отличны друг от друга или порядком элементов, или их составом	Число размещений из n элементов по k элементам обозначается и вычисляется по формуле:
Перестановки
Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n	Перестановки отличны друг от друга порядком элементов	Число перестановок из n элементов обозначается и вычисляется по формуле   Рn=n!
Сочетания
Сочетанием из n элементов по k элементам называют любой набор из k элементов, принадлежащих n-элементному множеству	Сочетания отличны друг от друга только составом элементов	Число сочетаний из n элементов по k элементам обозначается и вычисляется по формуле

 

 

Задачи на размещения