Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Основные понятия

Определение 1. Уравнение, вида:

(1)

где непрерывные на промежутке функции, называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) второго порядка. Если для всех из промежутка , то уравнение (1) называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ):

(2)

Если то уравнение (1) называют линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

Определение 2. Две функции и называются линейно зависимыми на промежутке , если для всех их отношение равно постоянной величине, т.е. В противном случае, если функции называются линейно независимыми на промежутке .

Определение 3. Если и линейно независимые решения ЛОДУ, то они образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

Теорема 1. Если и линейно независимые решения ЛОДУ (2) на промежутке , то их линейная комбинация

где и произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Теорема 2. Общее решение ЛНДУ второго порядка (1) представляется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ (2) и любого частного решения ЛНДУ (1), т.е. общее решение ЛНДУ (1).

Теорема 3. Если частное решение ЛНДУ:

а частное решение ЛНДУ:

то является частным решением ЛНДУ:

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение 1. Уравнение вида

(3)

где и действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами.

Метод Эйлера для решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами

Частные решения такого уравнения получают с помощью замены:

(*)

Подставляя в уравнение (3) выражения (*), получим:

(4)

Уравнение (4) называется характеристическим для данного уравнения (3). Оно является квадратным уравнением, поэтому в зависимости от величины дискриминанта возможны три случая.

1) Тогда корни характеристического уравнения (4) действительные и различные – Они дадут два линейно независимых решения: и . Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:

2) В этом случае Поэтому одно решение уравнения (3) будет . В качестве второго, линейно независимого с первым, можно взять функцию . Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде:

или

3) В этом случае корни уравнения (4) комплексно-сопряженные: Тогда в качестве линейно независимых решений можно взять функции и Следовательно, в этом случае по теореме 1 общее решение уравнения (3) можно записать в виде: