Условия существования интегрирующего множителя

Интегрирующий множитель удовлетворяет дифференциальному уравнению:

Однако нет общего метода интегрирования такого уравнения. Рассмотрим частные случаи существования интегрирующих множителей вида: и

Теорема 1. Пусть в некоторой области D выполнены условия:

1) непрерывны;

3) является функцией, зависящей только от переменной

Тогда дифференциальное уравнение (1) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от и вычисляемый по формуле:

Теорема 2. Пусть в некоторой области D выполнены условия:

1) непрерывны;

3) является функцией, зависящей только от переменной

Примеры с решениями

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. В данном примере

откуда получим:

Значит, данное уравнение в полных дифференциалах. Поэтому существует функция для которой выполняется равенство:

Составим и решим систему уравнений:

Проинтегрируем по первое уравнение, считая постоянным:

(*)

Определим функцию используя второе уравнение системы:

где произвольная постоянная.

Подставим в равенство (*):

Таким образом, общим интегралом данного уравнения будет:

Ответ:

Пример 2. Решить задачу Коши:

Решение. Проверим выполнение условия

и .

Следовательно, заданное уравнение в полных дифференциалах. Составим систему уравнений относительно неизвестной функции для которой выполняется равенство:

Тогда:

(**)

Найдем функцию используя второе уравнение системы:

где произвольная постоянная.

Подставим найденную в (**):

Таким образом, общий интеграл данного уравнения можно записать:

Найдем число так, чтобы выполнялось условие:

Следовательно, решение задачи Коши находится из общего решения при

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение:

Решение. Проверим условие

Следовательно, это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Проверим выполнение условий теоремы 1 существования интегрирующего множителя

Таким образом, интегрирующий множитель вида существует и находится по формуле:

Умножим заданное уравнение на найденную функцию и получим уравнение в полных дифференциалах:

Поэтому существует для которой

(***)

где произвольная постоянная.

Подставим в равенство (***):

Тогда общий интеграл запишется в виде:

При переходе от заданного уравнения к уравнению в полных дифференциалах было потеряно решение (при делении на ). Но оно входит в полученное семейство при

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение:

Решение. Проверим условие

Следовательно, это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Проверим выполнение условий теоремы 2 существования интегрирующего множителя