Изменение геметрических характеристик при преобразовании прямоугольных координат

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

Кафедра сопротивления материалов и основ теории упругости и пластичности

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛОЖНЫХ СЕЧЕНИЙ СОСТАВНЫХ

СТЕРЖНЕЙ

 

 

Методические указания для выполнения

расчетно-графического задания

студентами специальностей 270102, 270109, 270112,

270114, 270115, 270201, 240400, 290600, 291000

 

Казань

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ

Рассмотрим некоторые основные геометрические характеристики поперечных сечений. Пусть дано произвольное поперечное сечение бруса в системе координат . Выделим элементарную площадку с координатами и . Введем следующие соотношения и определения:

1) Площадь плоской фигуры можно представить в виде суммы площадок . Это записывается в виде:

 

, [ см² ]

 

2) Статические моменты относительно осей и определяются как суммы произведений плеча площадки на

величину :

 

 

, , [ см³ ]

 

3) На основании известной из теоретической механики теоремы о моменте равнодействующей статические моменты могут быть вычислены по более простым формулам . Отсюда вытекает, что центртяжести плоской фигуры определяется как:

 

, , [ см ]

 

4) Осевыми , и центробежным моментами инерции фигуры называются геометрические характеристики численно равные интегралам:

 

[ см⁴ ]

 

5) Полярный момент инерции фигуры вводится соотношением:

 

 

, [ см⁴ ]

 

6) В некоторых расчетах вводятся радиусы инерции плоской фигуры. Относительно осей и они имеют вид:

 

, [ см ]

 

 

Замечание: Статические и центробежный моменты в зависимости от выбора системы координат могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны (это видно из их определений).

ИЗМЕНЕНИЕ ГЕМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ

 

a) Связь моментов относительно параллельных осей

(параллельный перенос осей координат)

Пусть известны все геометрические характеристики сечения относительно осей и , которые параллельны осям и (рис.2).

Координаты элементарной площадки в системе координат примут вид:

 

,

 

 

Статические моменты сечения относительно системы координат имеют вид:

 

 

(1)

 

 

Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными осями. Относительно центральной оси статический момент равен нулю.

Таким образом, если оси и - центральные, то , из формулы (1) следует:

 

 

Моменты инерции относительно системы координат определяются как:

 

(2)

Если оси и - центральные (рис.3), то , и соотношение (2) упрощается:

(3)

Если наоборот, необходимо найти то из (3) вытекает:

(4)

б) Поворот осей координат

Повернем оси на угол против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным. Получим оси .

Координаты произвольной элементарной площадки и выразятся через старые координаты и следующим образом:

 

 

Статические моменты в новых осях примут вид:

 

 

 

 

Моменты инерции относительно осей и повернутых относительно первоначальных , на угол примут вид:

 

(5)

Следствие: Из (5) вытекает, чтосумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей и не меняется при их повороте:

 

(6)

 

 

Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Относительно этих осей осевые моменты инерции принимают экстремальные значения и называются главными моментами инерции и обозначаются и .

Действительно, если, например, взять первую производную от , то из условия вытекает, что . Таким образом это означает, что будет принимать экстремальное значение относительно главной оси . Аналогично, момент инерции будет принимать экстремальное значение относительно главной оси .

Таким образом, если оси - главные оси инерции, то главные моменты инерции можно определить из первых двух соотношений (5), а последнее соотношение в (5) для центробежного момента должно обращаться в нуль ().

Замечание: Главные моменты инерции можно определить и по следующим выражениям:

 

(7)

 

Главные оси инерции, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Таким образом, согласно третьему соотношению (5) угол между главной осью и осью определится как:

(8)

Угол считается положительным, если он отложен против хода часовой стрелки от оси .