Моделирование прямых общего положения

МОДЕЛЬ ПРЯМОЙ

Плоские изображения трехмерного объекта на рис.55, 57, 59, 61, 63 построены с преобладанием прямых линий. Они по-разному расположены относительно проекционного аппарата. В связи с этим их модели обладают различными характерными признаками, которые приводят к некоторым особенностям при работе с этими моделями. Чтобы понять возникновение этих признаков, необходимо знать, как строится модель прямой и какие задачи нужно решать при работе с этой моделью. Поэтому рассмотрим процедуру возникновения модели прямой, построенной методом двух изображений, характерные признаки моделей прямых частного положения и приемы решения задач, которые необходимо решать, работая с этими моделями.

Чтобы построить модель произвольной прямой l трехмерного пространства (рис. 94), выполним следующие операции алгоритма:

 

Рис. 94. Моделирование прямой трехмерного пространства методом двух изображений (общий случай)

После того как построены изображения прямой, осуществим переход к однокартинному чертежу, используя тот прием, который присущ конкретному частному варианту. В результате моделью прямой в общем случае окажутся две ее проекции, произвольно расположенные на плоскости.

Однозначность такой модели легко доказать. Достаточно восстановить положение проецирующих плоскостей – они пересекутся по исходной прямой l. Этот факт подтвердится, если подсчитать размерность множества пар прямых, моделирующих исходную прямую. Для выделения двух произвольных прямых плоскости необходимо затратить четыре параметра. Столько же параметров нужно затратить, чтобы выделить прямую в трехмерном пространстве?

Работа с моделью прямой заключается в решении следующих задач:

1) моделирование любой прямой трехмерного пространства;

2) определение положения прямой относительно проекционного аппарата по ее модели;

3) построение одной из проекций точки, принадлежащей прямой, если дана другая ее проекция;

4) построение точек пересечения прямой с картинами;

5) построение точек схода прямой (бесконечно удаленная точка прямой).

При решении этих задач необходимо учитывать их взаимосвязь, которая представлена графом на рис. 95. Для создания этого графа было выделено множество, составленное из перечисленных выше задачами, и соответствующих сведений из предыдущих разделов. Отношение, которое задано на этом множестве, выглядит следующим образом: «элемент Х не может быть освоен без знания элемента Y».

В результате видим, что построение модели любой прямой трехмерного пространства не возможно без знания закона, который обуславливают структура проекционного аппарата и алгоритм его работы. Для определения положения прямой относительно проекционного аппарата, необходимо знание закона построение модели прямой, классов прямых трехмерного пространства и характерных признаков моделей прямых частного положения. Задачи на построение модели прямой и определения ее положения относительно проекционного аппарата необходимы при решении остальных задач. Кроме этого важны еще знания раздела «модель точки». Они обеспечивают возможность при нахождении точек пересечения прямой с картинами ее точки схода.

Классификация прямых происходит в зависимости от их положения относительно проекционного аппарата. В результате выделяю следующие два класса:

1. Прямые частного положения:

а) проецирующие прямые: они содержат один из центров проецирования;

б) прямые уровня - это прямые, которые параллельны одной из картин. Если прямая параллельна π₁, она называется горизонталью, если параллельна π₂, – фронталью;

в) профильные прямые. К этим прямым относят такие, которые пересекают исключенную прямую.

2. Прямые общего положения. К этой группе относятся все остальные прямые.

 

Рис. 95. Взаимосвязь знаний, умений и навыков, обеспечивающих работу с моделью прямой

 

Примеры моделей прямых, различным образом расположенных относительно проекционного аппарата, даны на рис. 96 – 100. Прямая а содержит центр проецирования S ₁, прямая n пересекает исключенную прямую, прямая m параллельна картине π ₁, прямая l занимает общее положение.

 

 

Рис. 96. Модели прямых на плоском изображении трехмерного объекта

(перспектива на наклонной картине с высоким горизонтом)

 

 

Рис. 97. Модели прямых на плоском изображении трехмерного объекта

(перспектива на наклонной картине с низким горизонтом)

 

 

 

Рис. 98. Модели прямых на плоском изображении трехмерного объекта

(перспектива на вертикальной картине)

 

 

 

Рис. 99. Модели на плоском изображении трехмерного объекта (аксонометрия)

 

 

Рис. 100. Модели прямых на плоском изображении трехмерного объекта (эпюр Монжа)

 

Моделирование прямых общего положения

 

Рассмотрим решение выделенных выше задач, из которых складывается работа с моделью прямой.

Задача 1. В трехмерном пространстве выделена прямая. Построить ее модель, используя метод двух изображений.

Рассмотрим примеры построения моделей прямых общего положения в перспективе, аксонометрии и на эпюре Монжа. Количество операций алгоритма в этом случае возрастает на две за счет перепроецирования изображения прямой с картины π₁ на картину π₂.

В перспективе и аксонометрии перепроецирование происходит благодаря плоскости γ, возникающей в результате объединения первой проекции прямой с центром проецирования S ₂. Это отражено на приведенном ниже алгоритме.

 

 

На эпюре Монжа совмещение картин происходит благодаря плоскости γ, возникающей в результате объединения первой проекции прямой с центром проецирования S ₃. Это также отражено на приведенном ниже алгоритме.

 

 

На рис. 101, 105, 107 показаны соответственно примеры моделирования прямой общего положения на наклонной картине с высоким горизонтом, в аксонометрии и на эпюре Монжа. Результаты перехода к однокартинному чертежу во всех вариантах перспективы демонстрируют рис. 102, 103, 104, в аксонометрии на рис.95, на эпюре Монже – на рис. 97. Они отличаются друг от друга только расположением исключенной точки положением таких ориентиров, как линия горизонта или ось проекций U_1,2.

 

Рис. 101. Моделирование прямой общего положения в перспективе

 

 

 

Рис.102. Модель прямой общего положения в перспективе на вертикальной картине

 

Рис. 103. Модель прямой общего положения в перспективе на наклонной картине с высоким горизонтом

 

Рис.104. Модель прямой общего положения в перспективе на наклонной картине с низким горизонтом

 

 

Рис. 105. Моделирование прямой общего положения в аксонометрии

 

 

 

Рис.106. Модель прямой общего положения в аксонометрии

 

 

Рис. 107. Моделирование прямой общего положения на эпюре Монжа

 

Рис.108. Модель прямой общего положения на эпюре Монжа