Амплитуда и фаза вынужденных установившихся колебаний. Резонанс и его применение

Вынужденные колебания -это колебания, происходящие под действием внешней переменной силы (вынуждающей силы).

Установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой, равной частоте вынуждающей силы.

Рассмотрим вынужденные колебания на примере реального (с трением) пружинного маятника. Будем отталкиваться от уравнения движения (второй закон Ньютона), которое мы написали для затухающих колебаний. При наличии дополнительной вынуждающей силы F(t) необходимо дописать ее в правую часть уравнения. В каноническом виде дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний имеет вид:

Для пружинного маятника: и

Для того, чтобы возникли периодические колебания, вынуждающая сила сама должна быть периодической. Пусть (писать здесь начальную фазу смысла нет, поскольку нас будут интересовать только установившиеся вынужденные колебания, то есть "забывшие" свое начало). W - частота вынуждающей силы. Для нахождения уравнения установившихся колебаний необходимо найти решение дифференциального уравнения:

при

Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения представляет собой, как известно из теории дифференциальных уравнений, сумму общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения нам известно, это - уравнение затухающих колебаний. Оно нас не интересует, так как при оно исчезает. В качестве частного решения неоднородного уравнения выберем очевидное - мы знаем, что вынужденные установившиеся колебания совершаются с частотой вынуждающей силы. Поэтому нашим искомым решением будет являться:

где А - амплитуда вынужденных колебаний, φ0 - сдвиг фаз между смещением и приложенной силой.

Для амплитуды и сдвига фаз получаются следующие выражения:

;

здесь w₀ - частота свободных (незатухающих) колебаний маятника; b - коэффициент затухания.

Обратите внимание, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения частоты вынуждающей силы и собственной частоты маятника. Максимальное значение амплитуды получается, если

Частота называется резонансной частотой, а достижение максимума амплитуды колебаний при изменении частоты называется явлением резонанса. График зависимости А (W) носит название резонансной кривой. Обратите внимание, что резонансная частота механических колебаний зависит от коэффициента затухания (а с ним и от коэффициента силы трения). Если силы трения отсутствуют, амплитуда колебаний стремится к бесконечности.

Помимо поведения амплитуды при резонансной частоте рассмотрим ещё два предельных случая: и

В первом мы получим обычное статическое смещение маятника под действием постоянной силы F₀ (статическое растяжение пружины):

Во втором случае амплитуда равна нулю: инерция маятника не может успевать реагировать на бесконечную частоту.

Зависимость сдвига фаз от соотношения частот представлена на рисунке. Сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой обусловлен инерцией маятника.