На тему: „ Розв’язання звичайних диференціальних рівнянь ”

Мета роботи: вивчення методів чисельного диференціювання та набуття навичок рішення задачі Коші за допомогою ЕТ Excel та МП MathCad.

Теоретичні відомості.

Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо невідома функція є функцією однієї змінної, і диференціальним рівнянням в частинних похідних, якщо невідома функція є функцією багатьох змінних.

Таким чином, звичайним диференціальним рівнянням називають рівняння виду:

, (38)

де x – незалежна змінна; y = y(x) – невідома функція; ¾ відповідно похідні цієї функції порядку 1, 2,…, n.

Розв’язком диференціального рівняння (38) на деякому інтервалі (a;b) називається диференційована на цьому інтервалі функція y = y(x), яка при підстановці в рівняння (38) перетворює його в тотожність по x на (a;b).

Кожне диференціальне рівняння має безліч розв’язків. Щоб знайти частинний розв’язок рівняння необхідно, задати додаткові умови. Залежно від способу задання додаткових умов розрізняють два типи задач: задача Коші і крайова задача.

Якщо додаткові умови задаються в одній точці, то така задача називається задачею Коші, а ці умови ¾ початковими умовами.

Якщо додаткові умови задаються більш ніж в одній точці, то така задача називається крайовою задачею, а умови ¾ крайовими або граничними.

В лабораторній роботі набудемо навичок рішення задачі Коші.

Задача Коші полягає в тому, щоб знайти розв’язок y(x) звичайного диференціального рівняння першого порядку

, (39)

який задовольняє початкову умову

. (40)

З погляду геометрії розв’язати задачу Коші ¾ це означає виділити з множини інтегральних кривих (розв’язків) ту, яка проходить через задану точку .

Для розв’язання задачі Коші широко використовують чисельні методи, які дають наближений розв’язок диференціального рівняння у вигляді таблиці значень. В основі цих методів лежить покроковий принцип визначення шуканої функції. Найпоширенішими є методи Ейлера та Рунге – Кутта.

Метод Ейлера. При пошуку чисельного розв’язку задачі (39),(40) відрізок інтегрування [ x₀, b ] розбивають на n рівних частин. Довжина кожної із утворених частин дорівнює . Точки розбиття будуть: , якщо відоме значення в точці .

Наближене значення в точці обчислюється за формулою:

(41)

Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге (правило подвоєння):

, (42)

де – значення розв’язку в точці , отримане за методом Ейлера з кроком h, - значення розв’язку в тій же точці x, але отримане з кроком рівним 2h.

Метод Рунге – Кутта. Метод Рунге – Кутта четвертого порядку дає рішення задачі Коші більш точне ніж в попередньому методі.

Відрізок інтегрування [ x₀, b ] розбивається на n рівних частин. Довжина кожної із утворених частин дорівнює . Точки розбиття будуть: , якщо відоме значення в точці .

Наближене значення в точці обчислюється за формулами:

, (43)

де

Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге (правило подвоєння):

, (44)

де – значення розв’язку в точці , отримане за методом Рунге – Кутта з кроком h, - значення розв’язку в тій же точці x, але отримане з кроком рівним 2h.