Лекція 3. Послідовні незалежні випробування

§1. Схема Бернуллі

Нехай проводиться серія випробувань, в результаті якої може відбутись подія А з певною ймовірністю. Якщо ймовірність події А в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називаються незалежними відносно події А.

Поставимо задачу.

Знайти ймовірність того, що в результаті проведення n незалежних випробувань подія А відбудеться рівно m раз, якщо в кожному із цих випробувань дана подія відбувається з постійною ймовірністю ^.

Шукану ймовірність позначають . Наприклад, означає ймовірність того, що при 8-ми випробуваннях подія А відбудеться 4 рази.

Такі випробування називають послідовними незалежними випробовуваннями Бернуллі. Прикладами можуть бути послідовні підкидання монети (подія А – випадання герба, ), послідовні підкидання грального кубика (подія А – випадання 5 очок, ).

Дану задачу можна розв’язати з допомогою теорем додавання і множення ймовірностей, але це призводить до дуже громіздких обчислень.

Тому виникає необхідність застосування простіших методів розрахунку. Одним з таких методів є формула Бернуллі.

Нехай в однакових умовах проводиться n випробувань, результатом кожного з них подія А може відбутися з ймовірністю , або ж з ймовірністю . Позначимо через появу події А в і-му випробуванні. Тоді:

,

Нас цікавить ймовірність того, що подія А при n випробуваннях відбудеться m раз, а в решті n-m випробуваннях відбудеться подія (подія А не відбудеться).

Так як подія А в n випробуваннях може появитись m раз в різних послідовностях або комбінаціях, то число таких комбінацій є .

Наприклад, така сполука (позначимо її подіїю В) є:

коли подія А відбулася m раз підряд, починаючи з першого випробування.

Знайдемо її ймовірність:

Так як всі комбінації події, аналогічні комбінації В, є подіями

несумісними і нам байдуже, в якій саме послідовності з’явиться подія А та , то, застосовуючи теорему додавання ймовірностей для несумісних подій, отримаємо:

. (1)

Формула (1) носить назву формули Бернуллі і має важливе значення в теорії ймовірності, бо вона зв’язана з повторенням випробувань в однакових умовах, тобто з такими умовами, в яких якраз і проявляються закони теорії ймовірності.

Набір чисел називається біномним розподілом, а саму формулу (1) називають біномною, оскільки її права частина є загальним членом розкладу бінома Ньютона . Зауважимо, що події є попарно несумісні, тому

тобто

Приклад 1. Податкова адміністрація виявила, що 40% декларацій про доходи осіб – платників податку – містить принаймі одну похибку. Яка ймовірність того, що з 10 наугад відібраних декларацій, 4 буде з похибкою?

Рішення. Ймовірність, що декларація має похибку а . Тоді: