Условия на границе раздела двух сред

Рассмотрим поведение электромагнитного поля при переходе через границу раздела двух сред с различными материальными характеристиками. Используем теорему Остроградского-Гаусса и теорему Стокса:

Теорема Остроградского-Гаусса:

т.е. совершается следующий переход:

Теорема Стокса:

Запишем первое и четвёртое уравнения Максвелла в среде:

Имеется граница раздела – поверхность, отделяющая одну среду от другой.

- нормаль к поверхности.

- скачок функции на границе раздела двух сред.

Рассмотрим цилиндр, образующие которого перпендикулярны поверхности . По объёму проинтегрируем первое и уравнение Максвелла:

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:

В последнем равенстве мы воспользовались теоремой о среднем.

Аналогично:

Тогда:

В пределе, при ,

- заряд на поверхности раздела двух сред

Пусть в пределе , при этом

В результате получаем:

Если на поверхности нет свободных зарядов, то и , т.е. - непрерывна.

Аналогично рассмотрев второе уравнение Максвелла

Получим

Т.е. - всегда непрерывна, её скачок всегда равен нулю.

Теперь рассмотрим четвёртое уравнение Максвелла

Рассмотрим правую часть этого равенства:

Второе слагаемое, при даёт 0.

- ток, протекающий через поверхность , причём ток положителен в направлении нормали

При

Воспользуемся теоремой о среднем:

Рассмотрим предельный переход при , тогда

- поверхностный ток, текущий через перпендикулярно чертежу.

При - ток, текущий по поверхности, в расчёте на длину.

В результате получаем:

Если , то - непрерывна.

Аналогично для третьего уравнения Максвелла:

Имеем:

Т.е. тангенциальная составляющая электрического поля непрерывна.

Определим

тогда

Ввиду произвольности , это выражение эквивалентно выражению:

Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.

Поле стационарно, если оно не зависит явно от времени, т.е.

Уравнения Максвелла в этом случаем принимают вид:

+ связи:

В электростатике используются первое и третье уравнения, а в магнитостатике второе и четвертое.

Связь полей с потенциалами:

Задачи

1. Определить напряженность электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженного шара. Объемная плотность заряда равна , радиус шара R.

Решение. Из принципа суперпозиции полей следует, что искомая напряженность поля равна разности напряженности электрического поля, создаваемого шаром без полости, и напряженности поля зарядов, заполняющих при этом полость.

Поле внутри полости