Распределение потенциала вдоль участка ветви. Потенциальная диаграмма

 

Рассмотрим участок электрической цепи (рис. 16)

 

 

Рис. 16.

 

Участок ветви, содержащий один или несколько источников энергии, является активным.

Положительные направления тока и напряжения указаны стрелкой.

Определим потенциалы точек c, d, e, b, предположив, что известен потенциал точки a-j_a.

Для правильного выбора знаков следует помнить, что:

1) ток в сопротивлении всегда направлен от более высокого потенциала к более низкому, т.е. потенциал падает по направлению тока.

2) э.д.с., направленная от точки «с» к точке «d», повышает потенциал последней на величину E.

3) напряжение U=Uac положительно, когда потенциал точки а выше, чем потенциал точки с.

При обозначении напряжения (разности потенциалов) на схемах посредством стрелки она ставится в направлении от точки высшего потенциала к точке низшего потенциала.

На рис. 16 ток протекает от точки «а» к точке «с», значит потенциал j_с будет меньше j_a на величину падения напряжения на сопротивлении R₁, которое по закону Ома равно IR₁:

j_{с =} j_a - IR₁

На участке cd э.д.с. E₁ действует в сторону повышения потенциала, следовательно:

j_d = j_{с +} E_{1 =} j_a - IR₁₊ E₁

Потенциал точки «e» меньше потенциала точки «d» на величину падения напряжения на сопротивлении R₂:

j_e = j_d – IR_{2 =} j_a - IR₁₊ E₁– IR₂

На участке e в э.д.с. E₂ действует таким образом, что потенциал точки «b» меньше потенциала точки «e» на величину E₂:

j_b = j_e – E_{2 =} j_a - IR₁₊ E₁– IR₂ – E₂ = j_a – I(R₁+R₂) + E₁-E₂ (15)

Чтобы наглядно оценить распределение потенциала вдоль участка цепи, полезно построить потенциальную диаграмму, которая представляет график изменения потенциала вдоль участка цепи или замкнутого контура.

По оси абсцисс графика откладываются потенциалы точек, а по оси ординат – сопротивления отдельных участков цепи. Для участка цепи рис. 16 распределение потенциала построено на рис. 17.

 

 

Рис. 16. Потенциальная диаграмма участка цепи.

 

Потенциальная диаграмма рис. 16 построена, начиная с точки a, которая условно принята за начало отсчета. Потенциал j_a принят равным нулю.

Точка цепи, потенциал которой условно принимается равным нулю, называется базисной.

Если в условии задачи не оговорено, какая точка является базисной, то можно потенциал любой точки условно приравнивать к нулю. Тогда потенциалы всех остальных точек будут определяться относительно выбранного базиса.

Обобщенный закон Ома.

 

Закон Ома выражаемый формулой , определяет зависимость между током и напряжением на пассивном участке электрической цепи.

Определим зависимость между током, напряжением и э.д.с. на активном участке (рис. 16).

Из формулы 15 следует:

j_a -j_b=I(R₁+R₂)- E₁+E₂ (16)

На положительное напряжение на участке a – b Uab=j_a -j_b

Следовательно, Uab= I(R₁+R₂)- E₁+E₂ (17)

(18)

Формула (18) выражает обобщенный закон Ома, или закон Ома для участка, содержащего э.д.с.

Из формулы видно, что если ток, напряжение и э.д.с. совпадают по направлению, то в выражение закона Ома они входят с одинаковыми знаками. Если э.д.с. действует в сторону, противоположную положительному направлению тока, то в выражении ставится знак «-».

Закон Ома применяется для участка ветви и для одноконтурной замкнутой схемы.

Пример № 1 построения потенциальной диаграммы:

Построить потенциальную диаграмму для одноконтурной схемы:

 

 

E₁=25В; E₂=5В; E₃=20В; E₄=35В,

R₁=8 Ом; R₂=24 Ом; R₃=40 Ом; R₄=4 Ом,

r₁=2 Ом; r₂=6 Ом; r₃=2 Ом; r₄=4 Ом.

Решение: 1. перерисуем заданный контур, вынося внутренние сопротивления э.д.с. (r₁- r₄) за их пределы; обозначим точки контура.

 

 

Рис.2

 

2. Выберем положительное направление тока I, определим его значение используя обобщенный закон Ома:

3. За базисную точку примем точку a. Найдем потенциалы остальных точек:

j_b = j_a – IR_{1 =} - 4В j_e = j_d – IR_{2 =} 8В

j_c = j_b – Ir_{1 =} - 5В j_f = j_e + E_{2 =} 13В

j_d = j_c + E_{1 =} 20В j_q = j_f – Ir_{2 =} 10В

 

j_k = j_q – IR_{3 =} - 10В j_n = j_m – IR_{4 =} - 33В

j_e = j_k – E_{3 =} - 30В j_o = j_n – Ir_{4 =} - 35В

j_m = j_e – Ir_{3 =} - 31В j_a = j_o + E_{4 =} 0

 

4. В системе координат строим потенциальную диаграмму:

Законы Кирхгофа.

 

Распределение токов по ветвям электрической цепи подчиняется первому закону Кирхгофа, а распределение напряжений по участкам цепи подчиняется второму закону Кирхгофа.

Законы Кирхгофа наряду с законом Ома являются основными в теории электрических цепей.

Первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

SI_i = 0 (19)

Где i - число ветвей, сходящихся в данном узле.

Т.е., суммирование распространяется на токи в ветвях, которые сходятся в рассматриваемом узле.

 

Рис.17. Иллюстрация к первому закону Кирхгофа.

 

Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, определяется формулой:

Nуp = Nу – 1,

Где Nу – число узлов в рассматриваемой цепи.

Знаки токов в уравнении берутся с учетом выбранного положительного направления. Знаки у токов одинаковы, если токи одинаково ориентированы относительно данного узла.

Например, для узла, представленного на рис.17: припишем токам, подтекающим к узлу знаки «+», а к токам, оттекающим от узла – знаки «-».

Тогда уравнение по первому закону Кирхгофа запишется так:

I₁ – I₂ + I₃ – I₄ = 0.

Уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, называются узловыми.

Этот закон выражает тот факт, что в узле электрический заряд не накапливается и не расходуется. Сумма электрических зарядов, приходящих к узлу, равна сумме зарядов, уходящих от узла за один и тот же промежуток времени.

Второй закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма э.д.с. в любом замкнутом контуре цепи равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура:

S Ui = S Ei

S IiRi = S Ei (20)

Где i – номер элемента(сопротивления или источника напряжения) в рассматриваемом контуре.

**Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, определяется формулой:

Nуp = Nb – Nу + 1 – Nэ.д.с.

Где Nb – число ветвей электрической цепи;

Nу - число узлов;

Nэ.д.с. - число идеальных источников э.д.с.

 

Рис.18. Иллюстрация ко второму закону Кирхгофа.

 

Для того, чтобы правильно записать второй закон Кирхгофа для заданного контура, следует выполнять следующие правила:

1. произвольно выбрать направление обхода контура, например, по часовой стрелке (рис.18).

2. э.д.с. и падения напряжения, которые совпадают по направлению с выбранным направлением обхода, записываются в выражении со знаком «+»; если э.д.с. и падения напряжения не совпадают с направлением обхода контура, то перед ними ставится знак «-».

Например, для контура рис.18, второй закон Кирхгофа запишется следующим образом:

U₁ – U₂ + U₃ = E₁ – E₃ – E₄ (21)

Уравнение (20) можно переписать в виде:

S (Ui – Ei) = 0 (22)

Где (U – E) – напряжение на ветви.

Следовательно, второй закон Кирхгофа можно сформулировать следующим образом:

Алгебраическая сумма напряжений на ветвях в любом замкнутом контуре равна нулю.

Потенциальная диаграмма, рассмотренная ранее, служит графической интерпретацией второго закона Кирхгофа.

Задача №1.

В схеме рис.1 заданы токи I₁ и I₃, сопротивления и э.д.с. Определить токи I₄, I₅, I₆; напряжение между точками a и b, если I₁ = 10мA, I₃ = -20 мA, R₄ = 5kОм, E₅ = 20B, R₅ = 3kОм, E₆ = 40B, R₆ = 2kОм.

.

 

Рис.1

 

Решение:

1. Для заданного контура составим два уравнения по первому закону Кирхгофа и одно – по второму. Направление обхода контура указано стрелкой.

В результате решения получаем: I₆ = 0; I₄ = 10мA; I₅ = -10мA

2. зададим направление напряжения между точками a и b от точки «a» к точке «b» - U_ab. Это напряжение найдем из уравнения по второму закону Кирхгофа:

I₄R₄ + U_ab + I₆R₆ = 0

U_ab = - 50B.

Задача №2.

Для схемы рис.2 составить уравнения по законам Кирхгофа и определить неизвестные точки.

Дано: I₁ = 20мA; I₂ = 10мA

R₁ = 5kОм, R₃ = 4kОм, R₄ = 6kОм, R₅ = 2kОм, R₆ = 4kОм.

 

Рис.2

Решение:

Число узловых уравнений – 3, число контурных уравнений – 1.

Запомнить! При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа выбираем контур, в который не входят источники тока. Направление контура указано на рисунке.

В данной цепи известны токи ветвей I₁ и I₂. Неизвестные токи I₃, I₄, I₅, I₆.

Решая систему, получаем: I₃ = 13,75 мA; I₄ = -3,75мA; I₅ = 6,25мA; I₆ = 16,25мA.