Завдання для аудиторної роботи

1. Знайти положення рівноваги прямокутної мембрани 0≤ x ≤π, 0≤ y ≤ a, край x =0 якої нерухомо закріплений, на краях x =π та y =0 діють сили відповідно та а край y = a пружно закріплений (h =1), причому край закріплення пружини зміщується за законом .

2. Знайти стаціонарний розподіл температури у прямокутній пластинці 0≤ x ≤1, 0≤ y ≤2π, на краї y =2π якої підтримується стала температура , краї x =1 та y =0 теплоізольовані, а на краї x =0 проходить теплообмін (із коефіцієнтом h =1) із навколишнім середовищем, температура якого рівна .

3. Визначити форму прогину прямокутної мембрани 0≤ x ≤ a, 0≤ y ≤ b під дією зовнішньої сили 18 xy, якщо краї x =0 та x = a мембрани нерухомо закріплені, а інші вільні.

4. Визначити стаціонарний розподіл температури у прямокутній пластинці 0≤ x ≤ a, 0≤ y ≤ b, два краї y =0 та x = a якої підтримуються при нульовій температурі, а інші теплоізольовані. Усередині пластинки діє джерело тепла інтенсивності

5. До краю кругової пластинки одиничного радіуса підводиться тепловий потік . Знайти стаціонарний розподіл температури зовні пластинки.

6. Усередині нескінченого кругового циліндра радіуса R проходить рух нестискуваної рідини. Вважаючи рух сталим, потенціальним і плоскопаралельним, знайти закон цього руху, якщо проекція швидкості на зовнішню нормаль циліндра у кожній точці задається формулою:

Зауваження. Якщо в області G, обмеженій замкнутою поверхнею S, проходить стаціонарний потенціальний рух нестискуваної однорідної рідини, то для визначення закону цього руху достатньо знайти потенціал U (x,y,z) поля швидкостей , який є розв’язком задачі:

де – зовнішня нормаль до поверхні S, а f (x,y,z) – задана на S функція, рівна проекції швидкості в точках цієї поверхні на зовнішню нормаль. Якщо потенціал U (x,y,z) знайдений, то поле швидкостей

- 72 -

 

Якщо область G обмежена циліндричною поверхнею з твірною, паралельною до осі O z, а вектор швидкості не залежить від z, тоді і є розв’язком задачі:

Тому наведена вище задача зводиться до наступної задачі Неймана:

7. Знайти форму прогину мембрани, яка має вигляд кільця 1≤ρ≤2, 0≤φ<2π, якщо:

а) на внутрішній край мембрани діє сила , а на зовнішньому задане відхилення ;

б) на внутрішньому краї мембрани задане відхилення , а на зовнішній діє сила (A = const).

8. Усередині круглоїпластинки радіуса a діють джерела тепла інтенсивності , а її край підтримується при нульовій температурі. Знайти стаціонарний розподіл температури в пластинці.

9. Визначити прогин мембрани, яка має форму кільця 1≤ρ≤2, 0≤φ<2π, якщо:

а) мембрана піддається дії сили , на внутрішньому краї відхилення рівне , а зовнішній край вільний;

б) мембрана піддається дії сили , внутрішній край нерухомо за-кріплений, а на зовнішньому краї задана стала сила A = const.

10. Проінтеґрувати крайові задачі та дати фізичну інтерпретацію:

а)

б)

в)

г)

ґ)

 

- 73 -

 

д)

е)

є)

11. Побудувати функцію Ґріна задачі Діріхле:

а) в крузі 0≤ρ≤ R, 0≤φ<2π;

б) у круговому секторі 0≤ρ≤ R, 0≤φ≤π/n; nÎ N.

12. Знайти об’ємний потенціал кулі радіуса R з центром у початку координат при сталій густині заряду :

а) поставивши крайову задачу для і розв’язавши її;

б) шляхом прямого обчислення об’ємного інтеґралу.

13. Знайти потенціал простого шару, розподілений зі сталою густиною на сфері одиничного радіуса з центром у початку координат.

14. Знайти лоґарифмічний потенціал подвійного шару відрізка 0£ х £ а зі сталою густиною моментів

15. За допомогою потенціалу подвійного шару розв’язати задачу Діріхле для півплощини:

Розглянути випадок

16. Користуючись потенціалом простого шару, знайти розв’язок задачі Неймана для круга одиничного радіуса з центром у початку координат:

 

 

- 74 -

 

ВІДПОВІДІ

1.

2.

3.

4.

 

5.

6.

7. а)

б)

8.

9. а)

б)

10. а)

б)

в)

г)

ґ)

- 75 -

 

д)

е)

є)

11. а)

причому (див. малюнок)

 

б) де – розв’язок попередньої задачі,

12.

13.

14.

15. при

16.

 

- 76 -