Кинематическое исследование механизма методом диаграмм

 

С помощью графиков перемещений, скоростей и ускорений какой-либо точки можно проследить изменение кинематических параметров точки за полный цикл движения механизма. В практических задачах теории механизмов каждая кинематическая диаграмма представляет собой графическое изображение изменения одного из кинематических параметров звена: перемещения, скорости или ускорения точки звена исследуемого механизма в функции времени или перемещения ведущего звена механизма, т.е. в функции обобщенной координаты.

Имея один из графиков, путем графического дифференцирования или интегрирования можно получить два остальных, так как между перемещением, скорости и ускорением точки существуют следующие кинематические зависимости:

,

Зависимость перемещения (линейного или углового) выходного (рабочего) звена от обобщенной координаты или называется функцией положения механизма, а производные функции положения по обобщенной координате – его передаточными функциями.

 

Кинематические функции	Передаточные функции
1. Линейное перемещение (м) Угловое перемещение (рад)	1. Линейная функция положении (мм) Угловая функция положении
2. Линейная скорость точки (м/с) Угловая скорость звена (с )	2. Аналог линейной скорости (м) Аналог угловой скорости
3. Линейное ускорение точки (м/с²) Угловое ускорение звена (с )	3. Аналог линейного ускорения точки (м) Аналог углового ускорения звена (безразмерная)

 

Кинематические и передаточные функции связаны следующим образом:

Движение ведущего звена в основном является вращательным и описывается уравнением углового перемещения и соответственно угловая скорость и ускорение определяются соотношениями:

 

,

 

Так как законы движения ведущих звеньев заданы, будем считать эти параметры определенными. Поэтому при кинематическом исследовании механизмов скорости и ускорения ведомых звеньев и точек, им принадлежащих, удобно выражать в функции поворота или перемещения ведущего звена.

Если угол поворота какого-либо звена к определен в виде функции

,

то угловая скорость этого звена может быть представлена в следующем виде:

 

;

 

обозначим через , она величина безразмерная, называется аналогом угловой скорости звена к

 

 

где - угловая скорость ведущего звена.

Дифференцируя выражение угловой скорости звена к по времени, получим величину углового ускорения звена к:

 

 

Если вращательное движение ведущего звена равномерное, т.е. , то

 

,

Следовательно

 

 

где - величина безразмерная, называется аналогом углового ускорения звена к.

Аналогично могут быть получены уравнения для линейной скорости и линейного ускорения какой-либо точки С звена к, с помощью выражении аналога линейной скорости и линейного ускорения точки С.

 

,

 

где , (м) - аналог линейной скорости точки, имеющий размерность длины.

 

,

 

где , (м) – аналог линейного ускорения, имеющий размерность также длины.

В случае равномерного движения ведущего звена, его время движения t, угол поворота , величины и , и за один цикл (один полный оборот) будут пропорциональными. При этом диаграммы аналогов скоростей и ускорений могут служить диаграммами действительных скоростей и ускорений в разных масштабах.

Существуют несколько методов графического дифференцирования. Предпочтительным из них является метод касательных, основанный на геометрический смысл производной функции.

 

Метод касательных

 

Из плана положений начиная с крайнего правого положения точки путем замера определяем отрезки , , ,…, соответствующие в масштабе перемещению точки С в каждом рассматриваемом положений (0-12), для углового перемещения рабочего звена 3 определяем угол поворота ψ, замером углов Таким образом, для рабочего звена 3 линейное перемещение определяется

 

(м) ()

 

угловое перемещение:

(рад) ()

 

Необходимо построить диаграмму перемещения рабочего звена 3 или . Выбираем систему координат, по оси абсцисс откладываем отрезок (0-12) в масштабе

()

где х – длина отрезка на оси абсцисс, выбранная произвольно, например для удобства х =180 мм, представляющая один полный оборот ведущего звена, по оси ординат откладываем перемещения рабочего звена 3

 

или ,

 

соответственно произвольно выбранном масштабе, желательно

или .

 

 

Тогда ординаты перемещения звена 3 в каждом положений определяется

 

(мм) или (мм).

 

Соединяем плавной кривой полученные точки ординаты и это является диаграммой перемещения рабочего звена 3.

Для построения диаграммы аналога линейной скорости точки С

 

(м)

 

или аналога угловой скорости звена 3

 

 

пользуемся методом касательных, сущность которого заключается в следующем: выбираем систему координат для функции или с общей осью ординат диаграммы перемещения. Ось абсцисс этой системы продолжаем влево и откладываем отрезок равный (мм) – произвольно. Далее в точках 0, 1', 2', 3', … кривой проводим касательные (рис. 10, а), а через точку - лучи (рис. 10, б) параллельные проведенным касательным.

Лучи , отсекут на оси ординат системы отрезки , , ,… пропорциональные скоростям в положениях 0,1,2,…,12. Полученные отрезки , , ,… откладываем на соответствующих ординатах диаграммы (рис. 10, б), точки соединяем плавной кривой, получим диаграмму аналога скорости точки С для линейного перемещения точки С рабочего звена 3 в виде:

(м) в масштабе (м/мм),

а для углового перемещения рабочего звена к получим аналог угловой скорости (величина безразмерная) в масштабе (1/мм).

 

Для построения диаграммы или графически дифференцируем кривой или соответственно. Для этого, так же как и для скоростей, выбираем систему координат с общей осью ординат диаграммы скорости и перемещения, на оси абсцисс влево откладываем отрезок , равный (мм) – произвольно.

В точках 0', 1', 2',…, диаграммы на рисунке 10, б проводим касательные, а через точку рисунка 10, в - лучи , параллельные проведенным касательным, которые на оси ординат системы отсекут отрезки пропорциональные ускорению или . Аналогичным путем строим диаграмму аналога линейного ускорения точки С

 

(м), в масштабе (м/мм),

 

или диаграмму аналога углового ускорения рабочего звена 3

 

(безразмерная величина), в масштабе (1/мм).

 

Метод графического дифференцирования не является достаточно точным, поэтому его следует применять для приближенного определения скоростей и ускорений. Для проверки правильности построения можно пользоваться известными теоремами математики, как производная функции в точке перегиба, теорема о max и min функции и т.д.

Для оценки погрешности ошибок полученных результатов кинематических параметров, необходимо произвести сравнения значении скорости и ускорения исследуемых точек в разных положениях механизма методами планов и кинематических диаграмм. Например, формула определения погрешности ошибки скорости:

 

Рисунок 10 (а, б, в)