Розрахунок тонкостінного стержня відкритого профілю на позацентрове стискання

Для заданого тонкостінного стержня (поперечний переріз якого показано на рис. 7.1) потрібно:

- визначити центр ваги, положення головних центральних осей і підрахувати головні моменти інерції;

- визначити центр згинання і головний секторіальний момент інерції;

- від стискальної сили Р, прикладеної в точці Б перерізу, побудувати епюри нормальних напружень в долях Р;від осьової поздовжньої сили N; від моменту М_у; від моменту М_z; від бімоменту В;

- побудувати сумарну епюру нормальних напружень у частинах Р;

- визначити допустиму стискальну силу Р і побудувати кінцеву епюру нормальних напружень.

1. Унаслідок симетрії перерізу, центр ваги лежить на осі симетрії у, а сама вісь у є головною центральною віссю. Довільно проводимо вісь z ₁. Координата центра ваги перерізу:

Рис. 7.1 (розміри в сантиметрах).

;

см³;

см²;

см.

Визначаємо моменти інерції відносно осей у та z (у, z – головні, центральні осі інерції):

см⁴;

Отже, маємо

.

 

2. Секторіальна площа являє собою подвійну площу, описану радіусом-вектором РА під час руху точки А по контуру від початку відліку О до деякого значення дуги s. Якщо радіус-вектор обертається за годинниковою стрілкою, приріст площі має знак «плюс», а якщо проти – «мінус». Секторіальна площа вимірюється в квадратних сантиметрах. Ця площа залежить від початку відліку і положення полюса:

.

Будуємо епюру секторіальної площі при довільно вибраному полюсі (рис 7.2).

Початок відліку дуги s потрібно вибирати так, щоб виконувалась умова:

. (а)

Якщо є вісь симетрії, то початок відліку О ₁потрібно розмістити на цій осі симетрії. У цьому випадку умова (а) буде виконана. Епюру показано на рис. 7.3.

Будуємо також епюри y та z, тобто закони зміни відстаней точок контуру від осей y i z (рис. 7.4 і 7.5).

Координати центра згинання:

; .

 

Рис. 7.2 Рис. 7.3

Розміри в сантиметрах

 

Рис. 7.4 Рис. 7.5

 

Оскільки товщина контуру стала, то . У цьому випадку:

; .

Для обчислення інтегралів, які входять у ці формули, можна користуватись правилом Верещагіна.

Розраховуємо:

см⁴;

см;

Відрізки y_c і z_c відкладаються від полюса в напрямку головних центральних осей y i z (рис. 7.6).

Рис. 7.6

Тепер будуємо епюру головної секторіальної площі при центрі згинання P як при головному секторіальному полюсі.

Використовуємо співвідношення:

.

Тут: – секторіальна площа при полюсі ; – те саме при полюсі y, z i – координати точок s і в системі координат y, z; а, b – координати полюса в системі координат , що має початок у точці і паралельні осям y i z.

У цьому випадку:

см; см, = 0.

Отже,

За цією формулою будуємо епюру головної секторіальної площі (рис. 7.7).

Точка 1. ;

Точка 2. см²;

Точка 3. см²;

Точка 4. см²;

Точка 5. см²;

Рис. 7.7

Точка 6. см²;

Точка 7. см²;

Точка 8. см²;

Точка 9. ;

Точка 10. см².

Визначаємо головний секторіальний момент інерції перерізу:

см⁶.

3. Якщо сила стискає, то напруження в будь-якій точці перерізу визначаються за формулою:

.

Уцьому випадку бімомент , отже:

,

 

де , , – ординати епюр , , у точці прикладення сили .

 

У нашому випадку:

см², см⁴, см⁴,

см⁶; см; см;

см²;

Отже,

.

Використовуючи цю формулу, будуємо епюри напружень , , і (рис. 7.8–7.11). Потім будуємо сумарну епюру (рис. 7.12).

 

Рис. 7.8 Рис. 7.9

Рис.7.10 Рис.7.11

Ординати всіх епюр (Рис. 7.8-7.12) необхідно помножити на 10-3 P/см2

Рис.7.12

Точка 1.

.

Точка 2.

.

Точка 3.

.

Точка 4.

.

Точка 5.

.

Точка 6.

.

Точка 7.

.

Точка 8.

.

Точка 9.

.

Точка 10.

.

В формулах для визначення напруження в точках 1-10 сила Р виражена в Ньютонах (Н).

4. Найбільше за абсолютною величиною напруження .

За умовою міцності МПа.

 

Отже, . Звідси

.

Будуємо кінцеву епюру нормальних напружень (від сили

Р = 546 кН), (рис. 7.13).

 

Рис 7.13

Методичні рекомендації

Під час вивчення цього розділу потрібно відразу усвідомити, який стержень є тонкостінним. При деформації тонкостінного стержня поперечний переріз не залишається плоским – проходить депланація перерізу. Слід більш чітко розібратися, що являє собою депланація перерізу. Необхідно навчитися також визначати секторіальну площу і секторіальні характеристики тонкостінних перерізів. Потрібно вміти визначати дотичні напруження при поперечному згинанні тонкостінних стержнів. Варто звернути особливу увагу на поняття «центр згинання» та вміти визначати депланацію поперечних перерізів тонкостінного стержня при крученні. Розібратися в питаннях стисненого кручення тонкостінних стержнів відкритого профілю. Слід також розглянути загальні випадки навантаження тонкостінного стержня і ознайомитися з поняттям «бімомент».

Запитання для самоперевірки

1. Який стержень називається тонкостінним?

2. Що таке депланація перерізу тонкостінного стержня?

3. Які існують секторіальні характеристики тонкостінних перерізів і як вони визначаються?

4. Що таке центр згинання і як визначається його положення?

5. Напишіть формулу для визначення нормального напруження в поперечному перерізі тонкостінного стержня з урахуванням бімоменту?