Розрахунок балки на косе згинання

Для балки двотаврового перерізу, яка піддається косому згинанню (рис. 6.7, а, в). Потрібно:

1) підібрати двотавровий переріз;

2) знайти положення нейтральної осі;

3) визначити нормальне напруження у точках А, В, С і D небезпечного перерізу балки.

Дані для розрахунку:

Р = 18 кН; l = 3 м; m ₀ = 5 кН×м; = 30°; 160 МПа.

Розв’язання:

1. Підбираємо двотавровий переріз балки. Спочатку будуємо епюру згинальних моментів М (рис. 6.7, б). Маємо:

М _mах = 11,0 кН×м.

Умова міцності для двотаврового перерізу при косому згинанні має вигляд:

.

Рис. 6.7

 

Звідси знаходимо:

.

Оскільки невідомі дві величини, а саме і , то необхідно задатися відношенням / . Це відношення для двотаврів дорівнює 6,1...13,5. Тому в першому наближенні візьмемо / = 10.

Враховуючи, що ; , маємо:

Візьмемо в першому наближенні: двотавр №27 а; = 407 см³; = 50,0 см³.

Перевіряємо виконання умови міцності

Оскільки було отримано недонапруження, то беремо двотавр №27; = 371 см³; = 41,5 см³. У цьому випадку

Остаточно візьмемо: двотавр № 27 (ДСТУ 8239-89);

2. Знаходимо положення нейтральної осі. Маємо:

Оскільки tg 30° = 0,577, то отримуємо

Отже, = –84,9°. Знак «мінус» вказує на те, що кут у цьому випадку треба відкладати від осі у проти ходу годинникової стрілки. Нейтральну вісь показано на рис. 6.7, в.

3. Визначаємо нормальне напруження в точках А, В, С і D небезпечного перерізу балки.

Нормальне напруження в будь-якій точці небезпечного перерізу в цьому випадку можна визначити за формулою

Згинальний момент має місце в перерізі балки, де прикладена сила Р; цей переріз і буде небезпечним. Маємо:

.

Для двотавра №27 ширина полиці b = 125 мм, висота двотавра h= 270 мм. Тому координати точок А, B, С і D будуть мати такі значення:

А (6,25; 13,5); В (–6,25; 13,5);

С (6,25; –13,5); D (–6,25; –13,5).

Координати точок вказані в сантиметрах.

Отже,

Визначення ядра перерізу

Приклад 1. П р я м о к у т н и й переріз (рис. 6.8).

У цьому випадку квадрати радіусів інерції дорівнюють:

; .

За формулами

; , (6.2)

Рис 6.8 Рис. 7.2

знаходимо координати точок 1 і 2, які розташовані на контурі ядра перерізу:

; ;

; .

Координати точок 3 і 4 неважко знайти з умови симетрії. З’єднуючи отримані точки 1, 2, 3 і 4 прямими лініями, отримаємо контур ядра перерізу (рис. 6.8).

Приклад 2. Круглий переріз (рис. 6.9). Маємо:

.

Рис. 6.9

За формулами (6.2) одержуємо:

;

Зважаючи на симетрію контуром ядра перерізу буде коло радіусом (рис. 6.9).

 

Приклад 3. Двотавровий переріз (рис. 6.10). За формулами (6.2) знаходимо координати точок 1 і 2, які належать контуру ядра перерізу:

Рис. 6.10

;

.

Координати точок 3 і 4 можуть бути знайдені з умови симетрії.

 

Позацентрове розтягання

Стальний стержень довжиною l = 1,5 м піддається позацентровому розтяганню. Поперечний переріз стержня зображено на рис. 6.11. Стержень розтягується поздовжніми силами Р, прикладеними в кінцевих перерізах у точці С.

Потрібно:

1) визначити необхідні геометричні характеристики поперечного перерізу стержня;

2) знайти відрізки, що відсікаються нейтральною віссю на осях координат;

3) обчислити нормальне напруження σ в точках А, В, С і D та побудувати епюру зміни цього напруження вздовж сторін перерізу.

Дані для розрахунку: Р = 50 кН, b = 5 см, h = 6 см, d = 4см.

Розв’язання.

1. Визначаємо необхідні геометричні характеристики поперечного перерізу стержня.

Площа перерізу:

см².

Рис. 6.11

 

Осьові моменти інерції перерізу:

см⁴;

см⁴.

Квадрати радіусів інерції перерізу:

см²; см².

2. Знаходимо відрізки, які відсікаються нейтральною віссю на осях координат. Ці відрізки можна визначити за формулами:

; ,

де – координати точки перетину лінії дії сил Р з площею поперечного перерізу стержня.

Маємо: = 2,5 см; z_р = 3,0 cм.

Отже,

см.

За цими даними проводимо нейтральну вісь (рис. 6.11).

 

3. Обчислюємо нормальне напруження в точках А, В, С і D та будуємо епюру .

Нормальне напруження в будь-якій точці поперечного перерізу стержня при позацентровому розтяганні можна визначити за формулою

.

Тут у, z – координати точки перетину, в якій визначається напруження . Координати точок А, В, С і D такі: А (–2,5; –3,0), В (2,5; –3,0), С(2,5; 3,0), D (–2,5; 3,0). Координати вказані в сантиметрах. Отже, маємо:

 

У цій формулі координати y і z взяті в метрах.

Таким чином,

;

;

;

.

За цими даними будуємо епюру вздовж сторін поперечного перерізу стержня (рис. 6.11). Найбільше розтягальне напруження має місце в точці С, а найбільше стискальне – у точці А.