Гаусстың басшы элементті таңдау әдісі

 

Бұл әдісті қолдану үшін жүйенің матрицасының басшы элементтері немесе диагональ элементтері нөлден өзгеше болуы керек ([11] қараңыз). Егер матрицаның басшы элементтері нөлге тең болса, қандай да бір алмастырулар, ауыстырулар қолдану арқылы нөлден құтылады. Жордан - Гаусс әдісін сондықтан басшы элементті таңдау әдісі деп те атайды. Әдістің негізгі идеясы модулі бойынша ең үлкен элементті басшы элемент деп алып, сол элемент орналасқан жолдағы сәйкес белгісізді жою. Бұл әдіс те тура және кері жолдан тұрады. Келесі жүйе берілсін.

(3.15)

Тура жол

1 (3.15) – жүйенің кеңейтілген матрицасын құрамыз.

элементтерінің арасынан модулі бойынша ең үлкен элементті басшы элемент деп тағайындаймыз. Оны a_pq деп белгілейік. Барлық мәндері үшін

(3.16)

көбейткішін есептейміз.

2 Әрбір басшы емес жолдан көбейткішіне көбейтілген басшы жол

элементтерін мүшелеп шегереміз:

(3.17)

Сонда q-шы бағанның басшы элементтен басқа элементтері нөлге айналады.

3 q-шы баған және басшы жолды тастап кетіп жаңа М₁ матрица аласыз. Бастапқы матрицаның бағаны мен жол саны азаяды.

4 М₁ матрицасына бастапқы пункттерді қайталап қолдану арқылы М₂ матрицасын аламыз.

5 Осы процессті бір белгісізді бір жолдан тұратын теңдеу қалғанша жалғастырамыз.

6 Тастап кеткен басшы жолдардан жаңа жүйе құрастырамыз.

Кері жол

 

Басшы жолдардан құралған матрицаны әлдебір ауыстырулар арқылы үшбұрышты түрге келтіріп, ең соңғы теңдеуден ең соңғы белгісізді, оны қолданып оның алдындағы белгісізді, т.с.с. барлық белгісіздерді кері бағытта анықтаймыз.

сандары қаншалықты азайған сайын есептеу қателігі де азаяды. Сондықтан ЭЕМ-ді қолданып есептеу уақытында осы әдіс тиімді деп есептеледі.

Ескерту. Егер жүйе өте көп белгісіздерден тұрып, оның барлық элементтерінің арасынан модулі бойынша үлкен элементті табу қиынға соқса басшы жол ретінде жүйенің бірінші жолын, ал басшы элемент ретінде осы жолдың модулі бойынша ең үлкен элементін алуға болады.

2-мысал:

(3.18)

Есептеу қадамдарының нәтижелерін 4- кестеге толтыруға болады:

 

Тура жол

 

а₄₄=1,2671 басшы элемент болады. 4-жол басшы жол деп аталады.

1 (3.16) - формула көмегімен m_i, i=1,2,3 мәндерін анықтаймыз:

4- кесте – (3.18) – есептің кестелік алгоритмі

 

Бөліктер	I	mi	X1	X2	X3	X4	Ai5
I		0.11759 0.14766 0.17923	1.1161 0.1582 0.1968 0.2368	0.1254 1.1675 0.2071 0.2471	0.1397 0.1768 1.2168 0.2568	0.1490 0.1871 0.2271 1.2671	1.5471 1.6471 1.7471 1.8471
II		0.09353 0.11862	1.08825 0.12323 0.15436	0.09634 1.13101 0.16281	0.10950 0.13888 1.177077		1.32990 1.37436 1.41604
III		0.07296	1.07381 0.10492	0.08111 1.11170			1.19746 1.20639
IV			1.06616				1.10944

2 (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді табамыз:

i=1; j=1 болғанда

i=1; j=2 болғанда

i=1; j=3 болғанда

i=1; j=4 болғанда

i=1; j=5 болғанда

i=2; j=1 болғанда

i=2; j=2 болғанда

i=2; j=3 болғанда

i=2; j=4 болғанда

i=2; j=5 болғанда

i=3; j=1 болғанда

i=3; j=2 болғанда

i=3; j=3 болғанда

i=3; j=4 болғанда

i=3; j=5 болғанда

Табылған элементтерден жаңа матрица құрып кестенің II-бөлігіне толтырамыз.

3 Жаңа матрицадан модулі бойынша үлкен элементті табамыз: ол - . 3-жолды басшы жол деп аламыз да жаңа көбейткіштерді анықтаймыз:

4 2-пункттегі сияқты (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді тауып тағы жаңа матрица құраймыз:

5

6 Осы жаңа матрицадан модулі бойынша үлкені . Тағы көбейткішті есептейміз: .

7 2-пункттегі сияқты (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді тауып тағы жаңа матрица құраймыз:

;

Кері жол

 

Кестеде қоршалған басшы элементтер орналасқан жолдардан жүйе құрамыз:

Белгісіздерді біртіндеп табамыз:

X₁=1.04059

X₂=0.98697

X₃=0.93505

X₄=0.88130.