СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРАЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУ ӘДІСТЕРІ

 

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйенің шешімін сандық әдісте тура (дәл) және итерациялық әдістер деп бөледі.

ТУРА әдісте жүйенің шешімі арифметикалық амалдардың ақырлы санымен шектелетіндігімен сипатталады. Тіке әдіске жататындар: Крамер әдісі, белгісіздерді біртіндеп жою әдісі (Гаусс әдісі). Практикада сандарының реті 103 -нан аспайтын жүйелерді шешуде тура әдісті қолданады.

ИТЕРАЦИЯЛЫҚ әдістер жуықтауға жатады. Бұл әдістер жүйенің шешімін бірдей схемамен есептелген, тізбектелген жуықтаулардың шегі ретінде анықтайды. Итерациялық әдістерге мыналар жатады: жәй итерация әдісі, Зейдель әдісі, градиенттік әдістер.

Тура шешу тәсілдері

Гаусс әдісі

 

(3.3)

(3.3) - квадрат матрицалы жүйе берілсін. Жүйенің матрицасы ерекше емес немесе айқындалмаған болсын. Гаусс әдісін практикада белгісіздерді біртіндеп жою әдісі деп те атайды.

Әдістің негізгі идеясы немесе мағынасы: берілген жүйенің матрицасын үшбұрышты түрге келтіру, бұл – тура жол деп аталады, сосын үшбұрышты матрицаны қолданып құрған жаңа жүйеден белгісіздерді біртіндеп табу, бұл – кері жол деп аталады. Сонда Гаусс әдісі 2 этаптан тұрады:

1 тура жол – матрицаны үшбұрышты түрге келтіру.

2 кері жол – белгісіздерді ең соңғысынан бастап кері қарай табу.

Бұл әдіс тура тәсілге жатады. Яғни белгісіздердің мәнін бастапқы жүйеге қойғанда теңдіктің оң жағындағы мәндер мен сол жағындағы мәндер бір біріне тең болады.

Матрицаны үшбұрышты түрге келтіру әр түрлі әдіспен орындалады, қолданылатын әдіс теңдеулердің коэффициенттеріне байланысты.

 

Тура жол

басшы элементі нөлден өзгеше деп есептеп (3.3)- жүйенің бірінші теңдеуінің коэффициенттерін басшы элементке бөлу арқылы келесі теңдеуді аламыз:

(3.4.)

Мұндағы

, (3.5)

(3.4) - теңдеуді қолданып (3.3) - жүйенің 2-ші теңдеуінен, 3-ші теңдеуінен және n-ші теңдеуінен х₁ белгісізін жоюға болады. Ол үшін (3.4)-ші теңдеуді а₂₁, а₃₁,..., а_n1 коэффициенттеріне көбейтіп шыққан нәтижелерді сәйкесінше 2-ші теңдеуден, 3-ші теңдеуден, т.с.с. n-ші теңдеуден азайтып a_ij¹ деп белгілейміз:

(3.6)

Сонда келесідей жүйе аламыз:

(3.7)

Алынған (3.7) - жүйенің 1-ші теңдеуін а₂₂¹ элементіне бөліп, теңдеу аламыз:

(3.8)

мұндағы

, (3.9)

х₁ белгісізін қалай жойсақ, тура сол сияқты х₂ белгісізін (3.7) - жүйеден жоямыз, сонда мынадай жүйе алынады:

(3.10)

мұндағы

(3.11)

(3.10) - жүйенің 1-ші теңдеуін элементіне бөліп

(3.11)

теңдеу аламыз. Мұндағы

, (3.12)

(3.11) - теңдеу көмегімен (3.10) - жүйеден х₃ белгісізін жоямыз.

Осы әрекеттер тізімін матрица толық үшбұрышты түрге келгенше жалғастырамыз да (3.4)-ші, (3.8)-ші, (3.11)-ші, т.с.с. алуға болатын теңдеулерді жинақтап келесідей жүйе аламыз:

(3.13)

Кері жол

(3.13) - жүйенің ең соңғы n-ші теңдеуінен белгісізін тауып алып n-1 –ші теңдеуге қою арқылы x_n-1 белгісізін табуға, сол сияқты кері қарай барлық белгісіздерді табуға болады.

Ескерту: Бұл әдіс матрицаның басшы элементі нөлден өзгеше болған жағдайда қолданылады. Егер берілген жүйе матрицасының басшы элементі нөлге тең болса, жүйенің теңдеулерінің орындарын ауыстыру арқылы, арифметикалық операциялар қолдану арқылы басшы элементтің нөлдігінен құтылуға болады.

Практикада есептеу жеңіл болуы үшін Гаусс компактілі схемасын толтырады (1-кесте), мысал үшін 4 белгісізді жүйе қарастырылды.

1-мысал:

(3.14)

Тура жол

Есептеу процесінің қалай өрбитінін бақылау үшін кесте толтырған дұрыс (3-кестені қараңыз). Кестенің I - бөлігіне жүйенің кеңейтілген матрицасын толтырамыз.

Кестенің соңғы екі бағаны ∑, S – есептеу қателігін бақылауды ұйымдастырады. I – бөліктің ең соңғы бақылаушы бағанындағы мәндер матрицаның әр жолындағы элементтердің қосындысы ретінде табылады . b_1j жолының бақылаушы бағанындағы элементтер I – бөліктің ең соңғы бақылаушы бағанындағы мәндерді басшы элементке бөлу арқылы табылады . II – бөліктің бақылаушы бағанындағы мәндер I – бөліктің ең соңғы бақылаушы бағанындағы мәндерге (3.6) - формуланы қолдану арқылы анықталады . Дәл осылай бақылаушы бағанның қалған екі жолын да толтыруға болады:

, төменде көрсетілген , формулалары арқылы. ∑, S – бағандарындағы мәндер бір - бірінен өте аз ауытқуы немесе тұтас беттесуі керек. Сонда есеп дұрыс жүргізілген болады. (3.5) - формуланы қолданамыз:

; ; ;

;

Бұл мәндерді кестенің b_1j жолына жазамыз. (3.6) - формуланы қолданамыз:

;

;

; Бұл сандарды кестенің II – бөлігіндегі сәйкес орындарына жазамыз.

(Бұл мән кестенің ∑ бағанында орналасады.)

;

;

; Бұл сандарды кестенің II – бөлігіндегі сәйкес орындарына жазамыз.

; (Бұл мән кестенің ∑ бағанында орналасады.) (3.7) - формуланы қолданамыз:

; ; ;

Бұл сандарды кестенің b_2j жолына жазамыз. (3.11) - формуланы қолданамыз:

;

 

2-кесте – Гаусстың компактілі схемасы

 

Бөліктер	i	X1	X2	X3	X4	bi	∑=ai6
I		a11   a21   a31   a41	a12   a22   a32   a42	a13   a23   a33   a43	a14   a24   a34   a44	b1   b2   b3   b4
B1j			b12	b13	b14	b15
II
B2j				b23	b24	b25
III
B3j					b34	b35
IV
V						x4 x3 x2 x1

 

 

; Бұл сандарды кестенің III – бөлігіне толтырамыз.

(Бұл мән кестенің ∑ бағанында орналасады.)

Осы арада тура жол аяқталады, матрица үшбұрышты түрге келеді.

Кері жол

b_1j, b_2j және кестенің ең соңғы жолында орналасқан элементтерді қолданып жүйе құрамыз:

Бұл жүйеден х₃=-2,2779; х₂=-2,9636; х₁=-0,6583 екендігі шығады.

 

 

3- кесте – (3.14) - есептің кестелік алгоритмі

 

Бөліктер	i	X1	X2	X3	bi	∑	S
I		0.14 1.07 0.64	0.24 -0.83 0.43	-0.84 0.56 -0.38	1.11 0.48 -0.83	0,65 1,28 -0,14
B1j			1.7143	-6.0000	7.9286	4,6428	4.6428
II			-2.6643 -0.6672	6.98 3.4600	-8.0036 -5.9043	-3.6878 -3.1114	-3.6879 -3.1115
B2j				-2.6198	3.0040	1.3842	1.3842
III				1.7121	-3.9000	-2.1879	-2.1879