Ло), а полученный средний ранг присваивать каждому из таких

Значений. В этом случае говорят, что переходят к матрице пе-

Реформированных рангов. Пусть имеем данные о ряде наблю-

дений х (см. табл. 10.6).

Таблица 10.6

№ п/п х Ранги ряда х (Rgx)

1 240 1

2 245 2

3 250 3,5

4 250 3,5

5 270 6

6 270 6

7 270 6

8 290 8

Так как значения х = 250 занимают третье и четвертое

Места, то им приписывают ранг. Аналогично, значе-

ния х = 270 занимают пятое, шестое и седьмое места, поэтому

Им приписывают ранг.

Коэффициент корреляции рангов Кендэла

Кендэл предложил еще одну меру связи между рядами х и

y. Расчет коэффициента Кендэла проводится по формуле

. (10.42)

Для нахождения τ к используют ранги ряда результативно-

го признака y. При определении S 1 i нужно установить, сколько

Чисел, находящихся ниже от каждого из элементов последова-

тельности рангов ряда y, имеют величину ранга, большую чем

ранг рассматриваемого элемента. Для определения S 2 i подсчи-

Тываем, сколько чисел, находящихся ниже от каждого из эле-

Ментов последовательности рангов ряда y, имеют ранг меньше

Ранга рассматриваемого элемента.

По данным примера 10.1 рассчитаем коэффициент Кендэ-

ла. Необходимые для расчета данные поместим в табл. 10.7

Таблица 10.7

Число значений больше

сопоставляемого (S 1)

Число значений меньше

сопоставляемого (S 2)

5 0

3 1

3 0

2 0

1 0

0 0

Для заполнения табл. 10.7 используем ранги ряда y, поме-

щенные в табл. 10.5. Первым рангом является 1, все ранги ниже

Ее (их пять) будут больше ее, а меньших ее ниже нет. Поэтому в

столбец S 1 мы заносим 5, а в столбец S2 ноль. В следующей гра-

фе рангов ряда y стоит 3. Из расположенных ниже рангов три

Больше тройки (4, 5, 6), а один меньше ее (2). Поэтому в столбец

S 1 мы заносим 3, а в столбец S 2 − 1. Далее таблица заполняется

Аналогично. После ее заполнения по формуле (10.42) определя-

ем коэффициент Кендэла (заметим, что -1 ≤ τ к ≤ 1):

.

Полученное нами значение τ к указывает на достаточно

Близкую прямую связь между хищениями оружия и воору-

Женными преступлениями. А это согласуется с полученными

Ранее коэффициентами корреляции, Фехнера, Спирмэна.

Коэффициенты Спирмэна и Кендэла близки друг к другу

По форме расчета. Их значения можно пересчитывать друг в

Друга, но считается, что коэффициент Кендэла дает более ос-

Торожную и, видимо, более объективную оценку степени связи

Двух изучаемых явлений, чем коэффициент Спирмэна. Коэф-

Фициент Кендэла всегда меньше по значению коэффициента

Спирмэна. Если в ряде y имеются группы повторя-

Ющихся рангов, то имеется скорректированная формула для

расчета коэффициента Кендэла [11, 17, 24]. Но на практике

Чаще пользуются приведенной нами формулой (10.42), так как

Она дает весьма малую ошибку.

Коэффициент конкордации

Этот коэффициент используется для оценки степени тес-

Ноты связи не только между двумя факторами, но и между

Тремя, четырьмя и большим количеством факторов. Для его

вычисления используется следующая формула:

, (10.43)

где m — количество коррелируемых факторов;

n — число наблюдений;

S — сумма квадратов отклонений суммы рангов по m фак-

Торам от их средней арифметической, т. е.

, (10.44)

где Rgij — ранг, присвоенный i -му значению j -го признака.

Формулу (10.44) можно переписать следующим образом:

. (10.45)

Заметим, что коэффициент конкордации меняется от нуля

(в случае несогласованности) до единицы (в случае полной со-

Гласованности).

Рассмотрим расчет коэффициент конкордации на конк-

Ретном примере.

Пример 10.2

Предположим, что имеются следующие условные данные

по зарегистрированным хищениям оружия (x 1), администра-

тивным правонарушениям (x 2) и преступлениям (у) за восемь

Лет в некотором государстве N. Надо найти тесноту зависимости

между у, x 1 и x 2 с помощью коэффициента конкордации. Исход-

ные данные необходимые для расчета поместим в табл. 10.8.

По данным табл. 10.8. находим

.

Далее по формуле (10.45) определяем:

.

Аналогичный результат получим и по формуле (10.44.),

Имея в виду, что

.

Таблица 10.8

Год

Преступления (у)

Хищения оружия (x 1)

Административные

правонарушения (x 2)

Rgyi Rgx 1 i Rgx 2 i

1997 13492 143627 238424 1 1 7 9 81

1998 13557 145471 213212 2 2 1 5 25

1999 14395 147783 215861 3 3 2 8 64

2000 15640 150209 233230 4 4 4 12 144

2001 17988 152763 236415 8 5 6 19 361

2002 17917 155207 234380 7 6 5 18 324

2003 17569 157804 220531 6 7 3 16 256

2004 17178 160050 260596 5 8 8 21 441

S = (9 − 13,5)2 + (5 − 13,5)2 + (8 − 13,5)2 + (12 − 13,5)2 +

+ (19 − 13,5)2 + (18 − 13,5)2 + (16 − 13,5)2 + (21 − 13,5)2 = 238.

Теперь, используя формулу (10.43.), рассчитываем коэф-

фициент конкордации:

.