Коэффициент корреляции знаков Фехнера

И некоторые ранговые коэффициенты

Кроме рассмотренных в подразд. 10.2 коэффициента кор-

Реляции, коэффициента детерминации, корреляционного от-

Ношения, существуют и другие коэффициенты для оценки

Степени тесноты корреляционной связи между изучаемыми

Явлениями, причем формулы для их нахождения достаточно

Просты. Рассмотрим некоторые из таких коэффициентов.

Коэффициент корреляции знаков Фехнера

Этот коэффициент является простейшим показателем

Степени тесноты связи, он был предложен немецким ученым

Г. Фехнером. Данный показатель основан на оценке степени

Согласованности направлений отклонений индивидуальных

Значений факторного и результативного признаков от соот-

Ветствующих средних значений. Для его определения вычис-

Ляют средние значения результативного () и факторного ()

Признаков, а затем находят знаки отклонений от средних для

Всех значений результативного и факторного признаков. Если

сравниваемое значение больше среднего, то ставится знак “+”,

а если меньше — знак “-”. Совпадение знаков по отдельным

значениям рядов x и y означает согласованную вариацию, а их

Несовпадение — нарушение согласованности.

Коэффициент Фехнера находится по следующей формуле:

, (10.40)

где С — число совпадений знаков отклонений индивидуаль-

Ных значений от средней величины;

Н — число несовпадений знаков отклонений индивидуаль-

Ных значений от средней величины.

Заметим, что -1 ≤ Кф ≤ 1. При Кф = ±1 имеем полную пря-

мую или обратную согласованность. При Кф = 0 — связь между

Рядами наблюдений отсутствует.

По исходным данным примера 10.1 рассчитаем коэффици-

Ент Фехнера. Необходимые данные для его определения помес-

тим в табл. 10.4.

Из табл. 10.4 находим, что С = 6; Н = 0, поэтому по форму-

ле (10.40) получаем:, т. е. полную прямую зависимость

между хищениями оружия (х) и вооруженными преступлени-

ями (y). Полученное значение Кф подтверждает вывод, сделан-

Ный после вычисления коэффициента корреляции о том, что

Между рядами x и y существует достаточно близкая прямая

Линейная зависимость.

Таблица 10.4

Хищение

оружия, x

Вооруженные

преступления, y

Знаки отклонения от средней

X y

773 4481 − −

1130 9549 − −

1138 8873 − −

1336 12160 + +

1352 18059 + +

1396 19154 + +

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна

Данный коэффициент относится к ранговым, т. е. коррели-

Руются не сами значения факторного и результативного при-

Знаков, а их ранги (номера их мест, занимаемых в каждом ряду

Значений по возрастанию или убыванию). Коэффициент кор-

Реляции рангов Спирмэна основан на рассмотрении разности

Рангов значений факторного и результативного признаков. Для

его нахождения используется следующая формула:

, (10.41)

Где — квадрат разности рангов.

Рассчитаем коэффициент Спирмэна по данным рассмат-

Риваемого примера 10.1. Так как значение факторного призна-

ка х мы изначально расположили по возрастанию, то ряд х ран-

жировать не надо. Ранжируем (от меньшего к большему) ряд y.

Все необходимые данные для расчета помещены в табл. 10.5.

Таблица 10.5

Ранги Rgx ряда х Ранги Rgy ряда y | di | = | Rgxi − Rgyi |

1 1 0 0

2 3 1 1

3 2 1 1

4 4 0 0

5 5 0 0

6 6 0 0

.

Теперь по формуле (10.41) получаем

.

Заметим, что -1 ≤ ρ c ≤ 1, т. е. полученное значение показыва-

Ет, что между хищениями оружия и вооруженными преступле-

Ниями наличествует достаточно близкая прямая зависимость.

Значение коэффициента Спирмэна согласуется с получен-

Ными нами ранее значениями коэффициентов корреляции и

Фехнера. В тех случаях, когда несколько смежных значений

Изучаемого ряда равны (повторяющиеся ранги), используют

Скорректированную формулу для нахождения коэффициента

Спирмэна, она более громоздка, чем формула (10.41) и приме-

Няется нечасто.

Формулу эту приводить не будем, ее можно найти, напри-

мер, в [17, 11, 24]. Как правило, при наличии групп объединен-

Ных рангов применяется формула (10.41), большой ошибки при

Этом не будет. Заметим, что в случае наличия повторяющихся

Рангов принято брать средний ранг (даже если он дробное чис-