Нормальному, а мы этого не знаем. Поэтому формулой Стерд-

Жесса пользоваться не будем (в нашем случае она дает следу-

ющий результат k ≈ 5,3 ≈ 5).

Полученный группированный ряд приведен в табл. 6.5. В

Ней кроме разрядов, частот, относительных частот, приведены

Плотности частоты и теоретические вероятности, которые по-

Надобятся в дальнейшем.

Таблица 6.5

Разряды 75−80 80−85 85−90 90−95 95−100 100−105

μi — количество

Наблюдений,

Попавших в i-й разряд

2,5 2,5 4 6,5 1,5 3

0,125 0,125 0,2 0,325 0,075 0,15

0,025 0,025 0,04 0,065 0,015 0,03

Pi 0,069 0,161 0,245 0,245 0,161 0,069

Заметим, что,

Где — плотность относительной частоты, т. е. отношение от-

носительной частоты к длине интервала Δ = xi − xi − 1 = 5 (в на-

Шем случае она для всех разрядов одинакова).

Имея группированный ряд (см. табл. 6.5), можно прибли-

Женно построить статистическую функцию распределения

. В качестве значений Х, для которых определяется,

Возьмем границы разрядов. Статистическая функция распре-

деления для нашего примера приведена на рис. 6.1.

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

75 80 85 90 95 100 105

0,125 0,125 0,2 0,325

0,075 0,15

x

Рис. 6.1

Теперь по группированному ряду (см. табл. 6.5) постро-

Им гистограмму, откладывая по оси абсцисс разряды, а по оси

Ординат соответствующие плотности относительных частот

В результате получим совокупность прямоугольников, пло-

Щадь каждого из которых равна соответствующей относитель-

ной частоте (рис. 6.2.).

Заметим, что гистограмму можно строить, используя и

частоты μi.

Теперь используя группированный статистический ряд,

Получим искомые числовые характеристики изучаемой слу-

чайной величины Х (количество ДТП), т. е. среднюю арифме-

Тическую и некоторые показатели вариации. В качестве веса

будем использовать относительную частоту f (частость) (мож-

Но использовать, как мы уже говорили, в качестве веса относи-

тельную частоту μi).

Вычислим среднеарифметическое весовое:

.

В качестве хi берем середину соответствующего интерва-

Ла. Заметим, что получилось таким же, что и по ранжиро-

Ванному ряду.

Находим дисперсию:

.

Определяем среднее квадратическое отклонение:

.

Среднее квадратическое отклонение округлим до деся-

Тых.

Находим среднее линейное отклонение:

.

Вычисляем коэффициент вариации:

,

Т. е. нашу совокупность можно считать однородной.

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

75 80 85 90 95 100 105

f*

x

Рис. 6.2

Определяем коэффициент осцилляции:

.

Находим

.

По формулам (6.21) и (6.23) вычисляем моду и медиану. При

вычислении этих характеристик используем частоты μi.

;

.

Находим моментный коэффициент асимметрии:

.

Для этого сначала определяем оценку третьего централь-

ного момента:

.

Поэтому,, т. е. имеем очень небольшую отрица-

Тельную асимметрию.

Степень существенности асимметрии оценим с помощью

Средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии

По формуле

.

Так как, то асимметрия несущественна и вы-

Звана влиянием случайных причин.

Теперь вычисляем эксцесс по формуле. Для это-

го сначала находим оценку четвертого центрального момента:

.

Поэтому эксцесс равен, т. е. наше распределение

Немного прижато к оси абсцисс.

Для определения существенности эксцесса распределения

Вычислим его среднюю квадратическую ошибку, используя

Формулу (6.55). Получим

.

Так как отношение меньше 3, то отклонение от

Нормального распределения можно считать несущественным.

Заметим, что среднее квадратическое отклонение по величи-

Не всегда больше среднего линейного отклонения. В нашем случае

,. Соотношение зависит от наличия в совокуп-

ности резких отклонений и может быть индикатором “засорен-

ности” ее нетипичными, выделяющимися из основной массы еди-

Ницами. Для нормального распределения отношение.

Для нашего примера имеем

.

Заменяя числовые характеристики случайной величины

Их оценками, мы совершаем некоторую ошибку. Желательно

Оценить эту ошибку и найти вероятность (надежность) того,

что она не превзойдет некоторого малого положительного ε

(точность).

В рассматриваемом нами примере заменили М [ X ] на, а

D [ Х ] на. Оценим точность и надежность этих оценок по ре-

Зультатам нашего примера.

Чтобы оценить точность и надежность оценки, надо знать

Ее закон распределения. Во многих случаях этот закон оказы-