Необходимые сведения из теории

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Общие понятия и определения

Как мы уже говорили, теория вероятностей — это раздел

математики, который занимается изучением закономерностей

в случайных явлениях.

Случайное явление — это явление, которое при многократ-

ном проведении одного и того же опыта (эксперимента) каждый

раз протекает несколько по-иному. Теория вероятностей рас-

сматривает не сами явления, а их математические модели. Ма-

тематическая модель описывает изучаемое явление при помо-

щи определенных символов и операций над ними.

Под опытом (экспериментом) будем понимать некоторую

производимую совокупность условий, в которых наблюдается

изучаемое явление. Если результат опыта может варьировать-

ся при его повторении, то говорят об опыте со случайным ис-

ходом. Основные условия, при которых протекает опыт, долж-

ны сохраняться. Опыт не обязательно должен быть поставлен

людьми, человек может выступать и в качестве наблюдателя.

Примерами случайных явлений являются: курс националь-

ной валюты, выпадение грани с цифрой шесть при бросании

игральной кости, выигрыш на рулетке в казино, результат из-

мерения горизонтального угла с помощью теодолита, длитель-

ность работы стиральной машины и т. д.

Классификация событий

Если событие всегда происходит в результате опыта со слу-

чайным исходом, то оно называется достоверным. Такие собы-

тия мы будем обозначать буквой U. Если в урне лежат только

красные шары, то появление красного шара из урны есть досто-

верное событие. Надо иметь в виду, что в реальной действитель-

ности мы имеем дело с почти достоверными событиями.

Если событие никогда не происходит в результате опыта со

случайным исходом, то оно называется невозможным и обозна-

чается ∅. Если в урне лежат только белые шары, то появление

красного шара из урны есть невозможное событие. В реальной

жизни мы имеем дело с почти невозможными событиями.

Случайным событием называется событие, которое в ре-

зультате опыта со случайным исходом может произойти, а

может и не произойти. Случайные события мы будем обозна-

чать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С,… На-

пример, выпадение решки при бросании монеты — случайное

событие.

Событием, противоположным событию А, является собы-

тие, которое происходит тогда, когда не происходит собы-

тие А.

Например, производится стрельба по мишени. Собы-

тие А — попадание в мишень, а событие — промах.

Непосредственный исход опыта называется элементар-

ным событием и обозначается ω.

Множество всех элементарных событий данного конкрет-

ного опыта называется пространством элементарных событий

этого опыта и обозначается Ω.

Например, в опыте бросания игральной кости шесть эле-

ментарных исходов ω1, ω2,…, ω6, т. е. Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}.

Событие удобно иллюстрировать с помощью кругов Эйле-

ра. Достоверное событие U мы будем изображать прямоуголь-

ником, случайное событие А — кругом внутри прямоугольника,

а противоположное к нему событие — область внутри прямо-

угольника, но вне круга (рис. 2.1).

А

U

Рис. 2.1

Алгебра событий

Введем понятия суммы и произведения событий.

Определение. Суммой (объединением событий) А1, А2,... Аn

называется событие, происходящее только в том случае, когда

происходит хотя бы одно из данных событий (или А1 или А2, …,

или Аn, или все вместе). Обозначают сумму событий так:

.

На рис. 2.2. показано изображение

суммы двух событий А+В с помощью

кругов Эйлера.

Определение. Произведением (пе-

ресечением) событий А1, А2,... Аn назы-

вается событие, которое происходит

только в том случае, когда все указан-

ные события появляются одновремен-

но, т. е. происходит и событие А1, и А2...

и событие Аn. Обозначается произведение событий следующим

образом

U

А B

Рис. 2.2

.

На рис. 2.3. показано изображение

произведения двух событий А × В с

помощью кругов Эйлера.

Определение. События А1, А2,... Аn

называются несовместными, если их

произведение есть невозможное собы-

тие, т. е. А1, А2,... Аn = ∅. Заметим, что

если события попарно несовместны, то

они несовместны в совокупности. Не-

совместными являются все элементарные события некоторого

опыта со случайным исходом, например, А × = ∅.

На рис. 2.4. показаны два несов-

местных события А и В.

Определение. Полной группой

событий называется множество по-

парно несовместных событий, одно

из которых обязательно произойдет

в результате опыта со случайным ис-

ходом, т. е. сумма которых есть досто-

верное событие.

, АiАj = ∅ i ≠ j

Все элементарные события ωi про-

странства элементарных событий Ω

составляют полную группу событий.

Например, полную группу событий со-

ставляют события А и, т. е. А + = U.

Поэтому часто достоверные события

U обозначают символом Ω, так же как

пространство элементарных событий.

Определение. Событие А называ-

ется частным случаем события В, если при появлении собы-

тия А появляется и событие В, т. е. А влечет В. Обозначается

А В

U

Рис. 2.3

А В

U

Рис. 2.4

Рис. 2.5

В

U

А

этот факт следующим образом: А ⊂ В. На кругах Эйлера А есть

собственное подмножество множества В (рис. 2.5).

Приведем некоторые правила алгебры событий:

1) А + В = В + А; (А + В) + С = А + (В + С);

2) A + U = U; A + ∅ = A; A + A = A;

3) A × B = B × A; A × U = A; A × ∅ = ∅;

4) A × A = A; A × (B + C) = A × B + A × C;.

Приведенные правила следуют

из определения суммы, произведения

событий и противоположного события.

С помощью них можно, например, до-

казать, что сумму двух любых собы-

тий можно представить в виде сум-

мы двух несовместных событий, т. е.

А + В =А + × В (рис. 2.6).

Вероятность события

Вероятность события — это мера его объективной возмож-

ности. Но данное определение вероятности не является мате-

матическим, так как не дает возможности оценить вероятность

количественно. Существует несколько математических опре-

делений вероятности. Самыми старыми из этих определений

являются статистическое и классическое определения.

Статистическое определение вероятности. Предположим,

что мы можем проводить некоторый опыт со случайным исхо-

дом (например, бросание монеты на некоторую поверхность)

неоднократно, примерно в одних и тех же условиях. В резуль-

тате этого опыта может появиться событие А = {выпал герб}.

Определение. Относительной частотой (или, как говорят в

статистике, частостью) события А (f (А)) называется отноше-

ние числа опытов μ (его называют в статистике частотой собы-

тия А), в которых появилось событие А, к общему числу прове-

денных опытов (n), т. е.

Рис. 2.6

U

А А × В

. (2.1)

Практика показывает, что для широкого круга случайных

явлений при неограниченном увеличении числа опытов, т. е.

при n → ∞, относительная частота события А стабилизирует-

ся и по вероятности приближается к некоторому неслучайному

числу. Например, при бросании монеты относительная частота

появления орла при неограниченном увеличении числа опытов

стремится к числу 0,5. Приведем свойства относительной час-

тоты события А.

1) f (U) = 1, так как μ = 1.

2) f (∅) = 0, так как μ = 0.

3) 0 ≤ f (А) ≤ 1, т. е. относительная частота случайного собы-

тия заключена между нулем и единицей и в частном случае мо-

жет быть нулем или единицей.

4) Если события А1, А2,... Аn несовместны, то выполняется

равенство

f (А1 + А2 +…+ Аn) = f (А1) + f (А2) +…+ f (Аn).

Статистическое определение вероятности. Вероятностью

события А (Р (А)) называется число, около которого колеблется

относительная частота события А (f (А)) при неограниченном

увеличении числа опытов (n → ∞). То есть можно записать

(2.2)

или

, (2.3)

где ε > 0 — малое положительное число.

Устойчивость относительных частот при большом коли-

честве испытаний является следствием закона больших чисел.

Характер приближения относительной частоты к вероят-

ности при n → ∞ отличается “от стремления к пределу” в мате-

матическом анализе.

Нет ничего невозможного в том, что относительная частота

события при n → ∞ сильно отклонится от ее вероятности, но та-

кое отношение настолько маловероятно, что его можно не при-

нимать в расчет.

Заметим, что все свойства относительных частот верны и

для вероятностей.

Классическое определение вероятности. Оно было впер-

вые четко сформулировано в работе швейцарского математи-

ка Якоба Бернулли, опубликованной в 1713 г. Введем понятие

равновозможного события. События называются равновозмож-

ными, если по условиям обыта ни одно из них не является пред-

почтительным по отношению к другим с точки зрения возмож-

ности их появления.

В этом случае опыт будет обладать симметрией исходов по

отношению к этим событиям.

Классическое определение вероятности можно использо-

вать только в том случае, если опыт будет классическим. Опыт

называется классическим, если он приводит к множеству со-

бытий, которые удовлетворяют условиям:

1) они попарно несовместны;

2) равновозможны;

3) образуют полную группу событий.

Такие события называются случаями и обозначаются ω.

Заметим, что они могут быть элементарными событиями.

Определение. Если опыт является классическим, то веро-

ятность события А (Р (А)) находится как отношение числа слу-

чаев, благоприятствующих событию А (m), к общему числу

случаев (n 1).

. (2.4)

Формула (2.4) дает возможность непосредственно вычис-

лять вероятности, но недостатком ее является то, что в реаль-

ной действительности классические опыты встречаются редко

в искусственно созданных ситуациях. Примером классического

опыта является игра в кости, которые перед каждым броском

тщательно перемешиваются, чтобы соблюдалась равновозмож-

ность наблюдаемых событий. Если мы бросаем одну игральную

кость, то вероятность появления каждой ее грани равна 1/6.

Классический опыт может быть организован по так назы-

ваемой урновой схеме. Под урной понимают некоторый ящик, в

котором находятся одинаковые по весу и размерам шары раз-

личных цветов. После перемешивания шары вынимаются из

урны случайным образом. Поэтому вероятность вытащить ка-

кой-либо шар из n шаров будет равна 1/ n.

Для подсчета числа возможных исходов классического

опыта часто используют формулы комбинаторики, в частности

формулы числа сочетаний из n элементов по m:

− без повторений:

, (2.5)

где n! — читается n -факториал и вычисляется по формуле

n! = 1 × 2 × 3… × n;

− с повторениями:

.

Пример 2.1

Предположим, что в урне находятся 9 шаров: четыре крас-

ных шара и пять синих шаров. Из нее вынимаются два шара.

Надо найти вероятность того, что оба они будут красными.

Введем событие А = {оба шара красные} и используем фор-

мулу (2.4):

Здесь — количество исходов, благоприятствующих

событию А; — общее количество исходов.

Аксиоматическое определение вероятности. Как и другие

разделы математики, теорию вероятностей можно развивать

аксиоматическим методом.

Аксиоматическое построение теории вероятностей было

осуществлено в 30-х гг. XX в. А. Н. Колмогоровым. Приведем

его упрощенное определение.

Вероятностью называется функция событий, которая по-

рождена некоторым опытом и имеющая следующие свойства:

1) вероятность достоверного события равна единице Р (U) = 1;

2) вероятность невозможного события равна нулю Р (∅) = 0;

3) вероятность случайного события лежит между нулем

и единицей, в частности принимая значение ноль и единица

0 ≤ Р (А) ≤ 1;

4) если события А1, А2,... Аn попарно несовместны, то веро-

ятность их суммы равна сумме их вероятностей

;

5) Если счетное бесконечное число событий А1, А2,... Аn, …

попарно несовместно, то вероятность их суммы равна суме их

вероятностей, т. е.

.

Аксиома 5 вводится отдельно, так как она не выводится из

четвертой.

Кроме приведенного существуют и другие аксиоматичес-

кие определения вероятности.

Аксиоматическое определение, в отличие от статистичес-

кого и классического, не позволяет непосредственно вычислять

значение вероятности, но из него вытекает ряд следствий. На-

пример, можно получить формулу (2.4), установить, что сумма

вероятностей полной группы событий равна единице, т. е.

.

В частности получаем

Р (А) + Р () = 1, (2.6)

т. е. сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Субъективное определение вероятности. В тех случаях,

когда проводимый опыт не является классическим и отсутству-

ют данные статистических наблюдений или их недостаточное

количество для оценки вероятности, прибегают к экспертному

оцениванию вероятности на основе мнения экспертов.

Определение. Субъективным определением вероятности

называются вероятности, удовлетворяющие аксиомам 1−5 ак-

сиоматического определения, которые приписываются собы-

тиям на основе мнения экспертов.

Как правило, в оценке вероятности события участвуют не-

сколько экспертов, и их мнения усредняют, учитывая опыт каж-

дого из них. Оценка экспертов важна в тех случаях, если плани-

руемый исход связан с большими материальными затратами.

Алгебра вероятностей

Рассмотрим правила, которые позволяют по вероятностям

одних событий находить вероятности других событий.

Сначала введем понятие условной вероятности. Предполо-

жим, что А и В — события, являющиеся результатом некоторо-

го опыта, причем наступление события А зависит от появления

события В. Понятие условной вероятности вводится для харак-

теристики зависимости одних событий от других.

Определение. Условной вероятностью события А при ус-

ловии, что произошло событие В, называется отношение веро-

ятности произведения событий А и В к вероятности события В,

если последняя отлична от нуля. Обозначается условная веро-

ятность события А следующим образом: Р(А\В). И согласно оп-

ределению, она равна

, (2.7)

Р (В) ≠ 0.

Аналогично условная вероятность события В при условии,

что произошло событие А обозначается следующим образом:

Р(В\А) и находится по формуле

, (2.8)

Р (А) ≠ 0.

Из формул (2.7.) и (2.8) следует правило умножения веро-

ятностей для двух любых событий:

Р (А × В) = Р (А) × Р (В\А) = Р (В) × Р (А\В), (2.9)

т. е. вероятность произведения двух событий равна произведе-

нию вероятности одного из них на условную вероятность дру-

гого при условии, что первое событие произошло. Используя

формулу (2.9), получим правило умножения вероятностей для

трех событий А1, А2, А3:

Р (А 1 × А 2 × А 3) = Р ((А 1 × А 2) × А 3) =

= Р (А 1 × А 2) × Р (А 3 \А 1 × А 2) = (2.10)

= Р (А 1) × Р (А 2 \А 1) × Р (А 3 \А 1 × А 2)

В формуле (2.10) Р (А 3 \А 1 × А 2) означает условную вероят-

ность события А3, если произошли события А1и А2.

Используя принцип математической индукции, можно обоб-

щить формулу (2.10) на любое конечное количество событий.

В результате получаем

Р (А 1 × А 2 × А 3… × Аn) = Р (А 1) × Р (А 2 \А 1) ×

× Р (А 3 \А 1 × А 2) × … × Р (Аn\А 1 × А 2 × А 3 ×… × Аn -1)

(2.11)

Правило умножения вероятностей значительно упроща-

ется, если события, образующие произведение, независимы.

Событие В называется не зависимым от события А, если его

условная вероятность равна безусловной, т. е. Р(В\А) = Р (В).

Аналогично, событие А называется не зависимым от собы-

тия В, если его условная вероятность равна безусловной, т. е.

Р (А\В) = Р (А).

Лемма. Если событие В не зависит от события А, то и собы-

тие А не зависти от события В.

Если события А и В независимы, то правило умножения

вероятностей (2.9) примет вид

Р (А × В) = Р (А) × Р (В). (2.12)

т. е. вероятность произведения двух независимых событий рав-

на произведению их вероятностей.

Определение. События А1, А2, А3... Аn называются независи-

мыми в совокупности, если каждое из них не зависит от произве-

дения любого числа остальных и от каждого в отдельности.

Правило умножения вероятностей (2.11) в этом случае

примет вид:

Р (А 1 × А 2 × А3 × … × Аn) = Р (А 1) × Р (А 2) × Р (А 3) × … × Р (Аn),

или более кратко

(2.13)

т. е. вероятность произведения конечного числа независимых

событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 2.2

Предположим, что студентка основательно проштудиро-

вала 70 из 90 вопросов к экзамену по теории вероятностей и ма-

тематической статистике. В каждом билете содержатся 3 воп-

роса. Найти вероятность того, что в билете, который вытащит

студентка, она будет знать ответы на все три вопроса.

Введем 3 события:

А1 = {студентка знает ответ на первый вопрос билета}.

А 2 \А 1 = {студентка знает ответ на второй вопрос билета

при выполнении события А1}.

А 3 \А 1 × А 2 = {студентка знает ответ на третий вопрос биле-

та при выполнении событий А1 и А2}.

Используя формулу (2.10) находим

Вероятности Р (А 1); Р (А 2 \А 1); Р (А 3 \А 1 × А 2) находятся по

формуле (2.4).

Теперь получим правило сложения для совместных со-

бытий.

Если рассматриваемые события попарно несовместны, то

для нахождения вероятности их суммы используется четвер-

тая аксиома аксиоматического определения вероятности.

Сначала рассмотрим правила сложения для двух совмест-

ных событий.

Теорема 2.1. Вероятность суммы двух совместных событий

равна сумме их вероятностей минус вероятность их произве-

дения, т. е.

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (А × В) (2.14)

Доказательство этой теоремы мы не приводим, его можно

найти в любом учебнике по теории вероятности, например [1, 8,

25]. Используя формулу (2.14), получим правило сложения для

трех совместных событий А1, А2, А3:

Р (А 1 + А 2 + А 3) = Р (А 1 + А 2) + Р (А 3) −

− Р ((А 1 + А 2) × А 3) = Р (А 1) + Р (А 2) −

− Р (А1 × А2) + Р (А3) − (Р (А1 × А3) +

+ Р (А2 × А3)) = Р (А1) + Р (А2) + Р (А3) − Р (А1 × А2) −

− Р (А1 × А3) − Р (А2 × А3) + Р (А1 × А2 × А3). (2.15)

Используя метод математической индукции, получим пра-

вило сложения вероятностей для любого конечного количества

совместных событий.

Р (А 1 + А 2 + А 3 + … + Аn) = Р (А 1) +

+ Р (А 2) + Р (А 3) + … + Р (Аn) — (Р (А1 × А2) +

+ Р (А 1 × А 3) + … + Р (Аn -1 × Аn)) +

+ Р(А 1 × А 2 × А 3) + Р (А 1 × А 2 × А 4) + … +

+ Р (Аn -2 × Аn -1 × Аn)) + … + (-1) n -1 Р (А 1 × А 2 × … × Аn) (2.16)

Часто при больших n вместо формулы (2.16) используют

равенство

, (2.17)

где — событие, противоположное событию Ai.

Если события А1, А2,... Аn взаимно независимы, то равенс-

тво (2.17) примет вид

. (2.18)

Пример 2.3. Задача де Мере.

Найти вероятность выпадения хотя бы один раз двух шес-

терок при 24 бросаниях пары игральных костей.

Данный опыт является классическим, поэтому вероятность

выпадения двух шестерок при одном бросании пары игральных

костей будет равна.

Перейдем к противоположному событию, т. е. найдем веро-

ятность того, что при одном бросании пары игральных костей

две шестерки не выпадут.

По формуле (2.6) получим (1 − 1/36). А вероятность того,

что это событие не случится ни разу при 24 бросаниях в соот-

ветствии с формулой (2.13) будет равна

(1 − 1/36)24 ≈ 0,507.

Поэтому по формуле (2.18) вероятность того, что две шес-

терки выпадут хотя бы один раз при 24 бросаниях, будет равна

1 − (1 − 1/36)24 ≈ 1 − 0,507 = 0,493.

Случайные величины

Понятие случайные величины является одним из важней-

ших в теории вероятностей. Под случайной величиной понима-

ют величину, которая в результате опыта со случайным исхо-

дом принимает то или иное значение.

Случайные величины будем обозначать заглавными латин-

ским буквами X, Y, Z, …, а принимаемые ими значения — малы-

ми буквами x 1, x 2, …, y 1, y 2,..., z 1, z 2,… Все возможные значения

некоторой случайной величины образуют множество Е, кото-

рое назовем множеством возможных значений этой случайной

величины.

Примерами случайных величин являются:

1) Опыт — бросание игральной кости; случайная величи-

на Х — число выпавших очков; множество возможных значе-

ний Е = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2) Опыт — выборы; случайная величина Y — число голо-

сов, которое набрал некоторый кандидат; множество Е — це-

лые положительные числа, максимальное значение не превы-

шает числа избирателей.

3) Опыт — измерение длины линии светодальномером;

случайная величина Z — результат измерения, выраженный

в сантиметрах; множество возможных значений — некоторый

участок действительной оси 0Z, Z > 0.

Из приведенных примеров видно, что случайные величины

бывают двух типов: у одних множество значений Е конечно или

счетно (примеры 1 и 2), а у других оно занимает какой-то учас-

ток числовой оси, границы которого могут быть как фиксиро-

ванными (теоретически это пример 3), так и нефиксированны-

ми, а множество Е является несчетным. Случайные величины

первого типа называют дискретными, а второго — недискрет-

ными. Недискретные случайные величины подразделяются на

непрерывные, у которых множество возможных значений не-

счетно, и смешанные, которые являются промежуточной раз-

новидностью между дискретными и непрерывными случайны-

ми величинами. Их мы в дальнейшем рассматривать не будем,

а желающие могут ознакомиться с ними, например, в книге [8].

В принятой в теории вероятностей теоретико-множест-

венной трактовке случайная величина Х является функцией

элементарного случайного события, т. е. Х = ϕ ( ω ), где ωεΩ; Ω —

пространство элементарных событий. Множество Е возмож-

ных значений случайной величины Х состоит из всех значений,

которые принимает функция ϕ ( ω ). Если множество Е конечно

или счетно, то случайная величина Х называется дискретной, а

если несчетно — непрерывной.

Реально значения случайной величины, полученные в ре-

зультате некоторого опыта, выражаются в определенных еди-

ницах: метрах, градусах, тоннах, амперах и измеряются с оп-

ределенной точностью, поэтому в реальной действительности

мы имеем дело с дискретными случайными величинами. Но в

тех случаях, когда точность измерения высока, количество из-

мерений велико и они расположены очень тесно на числовой

оси, проще рассматривать данную величину как непрерывную,

а множество ее возможных значений — сплошной отрезок (не-

счетное множество) числовой оси.

Для полного описания случайной величины необходимо

знать ее закон распределения. Законом распределения слу-

чайной величины называется любое правило (таблица, график,

функция), которое позволяет находить вероятности всевоз-

можных событий, связанных со случайной величиной. Закон

распределения случайной величины имеет ряд форм. Рассмот-

рим эти формы.

Для дискретной случайной величины в качестве закона

распределения можно использовать ряд распределения.

Рядом распределения дискретной случайной величины Х

называется таблица, в верхней строке которой расположены по

возрастанию все возможные значения случайной величины Х:

х 1, х 2, х 3..., хn, а в нижней — соответствующие им вероятности:

Р 1, Р 2, Р 3..., Рn, где Рi = P { X = хi } — вероятность того, что случай-

ная величина Х примет значение хi.

Ряд распределения случайной величины Х имеет вид

Х:

х 1 х 2 х 3 … х n

Р 1 Р 2 Р 3 … Р n

Так как события { Х = хi },, n попарно несовместны и

образуют полную группу событий, то

т. е. единица распределена между всеми возможными значени-

ями случайной величины.

Графическим изображением ряда распределения является

многоугольник распределения. На оси абсцисс откладываются

все возможные значения случайной величины Х, а на оси орди-

нат — соответствующие им значения вероятностей (рис. 2.7).

Недостатком ряда распределения является то, что он может

быть построен только для дискретных случайных величин.

Наиболее универсальной формой закона распределения,

которая может использоваться и для дискретных, и для не-

прерывных случайных величин, является функция распреде-

ления.

Определение. Функцией распределения случайной величи-

ны Х называется вероятность того, что данная случайная вели-

чина примет значение меньшее, чем некоторое заданное х, т. е.

F (x) = P { X < x }. (2.19)

Функцию F (x) иногда называют интегральной функцией

распределения. Геометрически формула (2.19), интерпретиру-

емая как вероятность того, что случайная точка X попадет ле-

вее заданной точки х, показана на рис. 2.8.

x

X < x

x

Рис. 2.8

P

Pne1

0 xn e1 xn x

P2

Pn

P1

P3

x 3 x 2 x 1

Рис. 2.7

Из геометрической интерпретации можно получить основ-

ные свойства функции распределения:

1) F (x) является неубывающей функцией своего аргумен-

та, т. е. при х 2 > х 1 F (х 2) ≥ F (х 1);

2) F (-∞) = 0;

3) F (+∞) = 1;

4) вероятность попадания на промежуток [ a, b ] равна при-

ращению функции распределения на этом промежутке, т. е.

Р { a ≤ X ≤ b } = F (b) − F (a);

5) множество значений функции распределения распола-

гается на отрезке [0;1], т. е. 0 ≤ F (x) ≤ 1.

Формула для вероятности отдельного значения случайной

величины Х через функцию распределения имеет вид:

. (2.20)

Значение предела (2.20) зависит от того, непрерывна фун-

кция F (x) в точке а или разрывна. Если функция F (x) в некото-

рой точке а непрерывна, то предел (2.20) равен нулю. Если же

функция распределения в точке а имеет разрыв первого рода,

то предел (2.20) равен величине этого скачка. Но в любом слу-

чае вероятность события { X = a } равна величине скачка функ-

ции распределения в точке а (равен этот скачок нулю или нет).

В этом случае, если функция распределения на своей облас-

ти определения непрерывна, вероятность каждого отдельного

значения случайной величины Х равна нулю.

Заметим, что отрезок [ a, b ] содержит несчетное количество

элементов, а аксиомы Колмогорова вводились для счетного ко-

личества событий. Поэтому из того, что событие { X = a } имеет

вероятность, равную нулю, не следует, что это событие не по-

явится, оно при неоднократном воспроизведении опыта будет

появляться, но достаточно редко.

Если известен ряд распределения случайной величины Х,

можно получить ее функцию распределения, и наоборот. Для

этого можно использовать формулу

. (2.21)

Пример 2.4

Дан ряд распределения случайной величины Х

X:

x 1 2 3 4 5

P 0,2 0,1 0,4 0,1 0,2

Используя формулу (2.21) найдем функцию распределе-

ния и изобразим ее на рис. 2.9.

1,2

0,8

0,6

0,4

0,2

0 1 2 3 4 5 6 7

F (x)

x

Рис. 2.9

Можно сделать вывод, что функция распределения любой

дискретной случайной величины — это разрывная ступенча-

тая функция, скачки которой находятся в точках, которые со-

ответствуют возможным значениям случайной величины Х, и

равны вероятностям этих значений.

Если число возможных значений дискретной случайнос-

ти величины Х велико, а интервалы между этими значениями

малы, то число скачков функции распределения увеличива-

ется, а сами эти скачки уменьшаются. Ступенчатая функция

распределения будет приближаться к плавной кривой. Поэ-

тому естественно аппроксимировать функцию распределения

непрерывной кривой. Условимся также считать функцию рас-

пределения F (Х) не только непрерывной в каждой точке своей

области определения, но и дифференцируемой везде, кроме

отдельных точек. График непрерывной функции распределе-

ния показан на рис. 2.10.

F (x)

0,8

0,6

0,4

0,2

x

Рис. 2.10

Так как непрерывная функция F (Х) не имеет скачков, то

вероятность любого значения непрерывной случайной величи-

ны равна нулю, т. е. P { Х = a } = 0 для ∀ a. Поэтому для непрерыв-

ной случайной величины вводится специальная разновидность

закона распределения — плотность распределения вероятнос-

тей (плотность распределения, плотность вероятностей), ко-

торую мы обозначим f (x). Она равна производной от функции

распределения, т. е.

. (2.22)

Функцию f (х) часто называют дифференциальной функ-

цией распределения. График плотности распределения назы-

вается кривой распределения (рис. 2.11).

f (x)

x dx x

Рис. 2.11

На рис. 2.11 dх — это элементарный участок, который при-

мыкает к точке х. Вероятность попадания случайной величи-

ны х на участок dх с точностью до бесконечно малых высших

порядков равна f (х) dх. Величина f (х) dх называется элементом

вероятности для точки x и геометрически равна площади эле-

ментарного заштрихованного прямоугольника. Приведем неко-

торые основные свойства плотности распределения:

1. f (х) — неотрицательная функция своего аргумента х,

т. е. f (x) ≥ 0.

2. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью

абсцисс равна единице, т. е.

. (2.23)

3. Вероятность попадания случайной величины в интервал

(а;b) будет выражаться через плотность распределения следу-

ющим образом:

. (2.24)

Так как для непрерывной случайной величины вероят-

ность события {X = а } равна нулю, то мы ставим строгое нера-

венство в формуле (2.24).

4. Функция распределения выражается через плотность

распределения следующим образом:

. (2.25)

Данное равенство следует из формулы (2.24). Замети, что

функция распределения размерности не имеет, а размерность

плотности распределения обратна размерности случайной ве-

личины X.

Закон распределения полностью характеризует изучае-

мую случайную величину. Например, известно, что случайные

ошибки астрономических или геодезических измерений подчи-

няются нормальному закону. Но очень часто мы не знаем закона

распределения изучаемой случайной величины. В этом случае

мы можем охарактеризовать изучаемую случайную величину

набором числовых параметров, которые характеризуют наибо-

лее существенные черты закона распределения случайной ве-

личины. Эти параметры и называют числовыми характеристи-

ками случайной величины.

Сначала рассмотрим характеристики положения, которые

фиксируют положение случайной величины на числовой оси. К

ним относятся математическое ожидание, мода, медиана.

Математическиv ожиданием, или средним взвешенным

значением дискретной случайной величины X, называется

сумма произведений всех ее значений на вероятность этих зна-

чений, т. е.

. (2.26)

Вместо обозначения M [ х ] часто применяется Мх, mх, m.

Например, для данных примера 2.4 получим:

M [ х ] = 1 × 0,2 + 2 × 0,1 + 3 × 0,4 + 4 × 0,1 + 5 × 0,2 = 3.

Если случайная величина X непрерывна, то ее математи-

ческое ожидание находится по формуле

. (2.27)

Математическое ожидание случайной величины тесно

связано со средним арифметическим ее наблюдаемых зна-

чений при большем числе наблюдений. При большом числе

опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений слу-

чайной величины приблизительно приравнивается к ее мате-

матическому ожиданию. Это одно из проявлений закона боль-

ших чисел.

Модой случайной величины Х называются ее наиболее ве-

роятные значения, т. е., то значение, для которого вероятность

Pi или плотность распределения f (x) достигает максимального

значения. Мода будет обозначена Mo. Для данных примера 2.4

мода равна 3, т. е. Mo = 3.

В том случае, если вероятность или плотность распреде-

ления достигает максимума не в одной, а в нескольких точках,

распределение называют полимодальным (рис. 2.12).

x

f(x)

Рис. 2.12

Медиана, которую мы будем обозначать Ме, применяется,

как правило, для непрерывных случайных величин. Медианой

случайной величины Х называется такое ее значение, для ко-

торого выполняется равенство

. (2.28)

Геометрически медиана — абсцисса такой точки на оси 0Х,

для которой площади под кривой распределения слева и спра-

ва от нее одинаковы и равны 1/2 (рис 2.13).

f(x)

Me x

1/2 1/2

Рис. 2.13

Если распределение симметрично, то математическое

ожидание, мода и медиана совпадают.

Кроме характеристик положения используются началь-

ные и центральные моменты различных порядков.

Начальным моментом k- го порядка случайной величины X

называется математическое ожидание k -й степени этой вели-

чины, т. е.

α k = M[ Xk ]. (2.29)

Если рассматриваемая случайная величина дискретна, то

ее начальный момент k- го порядка находится по формуле

. (2.30)

Если случайная величина непрерывна, то

. (2.31)

Из приведенных формул (2.30) и (2.31) видно, что математи-

ческое ожидание — это начальный момент первого порядка, т. е.

α1 = M[ X ].

Введем понятие центрированной случайной величины, ко-

торую будем обозначать, т. е. центрированная слу-

чайная величина Х есть отклонение случайной величины Х от

ее математического ожидания. Математическое ожидание цен-

трированной случайной величины равно нулю, т. е.

Моменты центрированной случайной величины называют-

ся центральными моментами. Центральным моментом порядка

k случайной величины X называется математическое ожида-

ние k- й степени центрированной случайной величины, т. е.

. (2.32)

Если рассматриваемая случайная величина Х дискретна,

то для нахождения центрального момента k- го порядка исполь-

зуется формула

, (2.33)

а если непрерывна, то применяется формула

. (2.34)

Для любой случайной величины первый центральный мо-

мент равен нулю, т. е.

μ1 = M [ X − M [ X ]] = 0.

Начальные и центральные моменты можно выражать

друг через друга. Например, для второго центрального момен-

та имеем:

μ1 = α2 − (M [ X ])2 = M [ X 2] − (M [ X ])2. (2.35)

Особое значение имеет второй центральный момент μ2. Он

называется дисперсией случайной величины и обозначается

следующим образом

μ2 = D [ X ] = Dx.

Согласно формуле 2.32 дисперсия находится по формуле

D [ X ] = M [(X − M [ X ])2]. (2.36)

То есть дисперсия — это математическое ожидание квад-

рата соответствующей центрированной величины. Дисперсия

характеризует разброс значений случайной величины относи-

тельно ее математического ожидания. Из формул (2.33) и (2.34)

следует, что для дискретной случайной величины она находит-

ся из выражения

, (2.37)

а для непрерывной случайной величины — из соотношения

. (2.38)

Часто для вычисления дисперсии используют формулу

(2.35).

Размерность дисперсии равна квадрату размерности слу-

чайной величины, а для характеристики рассеивания удобно

иметь параметр, который бы имел ту же размерность, что и

изучаемая величина. Поэтому из дисперсии извлекают ариф-

метический квадратный корень и получают еще одну числовую

характеристику, называемую средним квадратическим откло-

нением (стандартом), которую обозначаем σ[ X ] = σ x.

Следовательно, имеем

. (2.39)

Зная M [ X ] и σ[ X ] изучаемой случайной величины X, мож-

но приблизительно судить о разбросе ее возможных значений.

Значения случайной величины X достаточно редко выходят за

пределы интервала

M [ X ] Ѓ} 3σ[ X ]. (2.40)

Выражение (2.40) называется “правило трех сигм” и сле-

дует из закона больших чисел. Часто в качестве характеристи-

ки степени случайности изучаемой случайной величины при-

меняют коэффициент вариации

. (2.40a)

Например, для рассмотренного нами примера 2.4 имеем:

= (1 − 3)2 × 0,2 + (2 − 3)2 × 0,1 +

+ (3 − 3)2 × 0,4 + (4 − 3)2 × 0,1 + (5 − 3)2 × 0,2 =

= 0,8 + 0,1 + 0 + 0,1 + 0,8 = 1,8;

;

.

Для более полного описания распределения используют

моменты высших порядков. Для характеристики асимметрии

(скошенности) распределения используют центральный мо-

мент третьего порядка. Заметим, что если распределение сим-

метрично относительно математического ожидания, то все цен-

тральные моменты нечетного порядка равны нулю, а так как

первый центральный момент всегда равен нулю, то и исполь-

зуют третий центральный момент. Его размерность равна кубу

размерности изучаемой случайной величины, поэтому, для того

чтобы получить безразмерный коэффициент μ3 делят на (σ[ X ])3

и получают коэффициент асимметрии или скошенности.

. (2.41)

Коэффициент Ax может быть как положительным, так и

отрицательным (рис. 2.14).

-20 0 20 40 60 80 100

Ax > 0

Ax < 0

f (x)

x

Рис. 2.14

Четвертый центральный момент применяется для харак-

теристики “островершинности” распределения. С его помощью

вычисляют так называемый коэффициент эксцесса

. (2.42)

Число 3 вычитается из отношения, так как для нор-

мального распределения, очень важного в теории вероятнос-

тей, отношение и, следовательно, для нормального рас-

пределения.

Если изучаемое распределение более островершинное, то

для него Ex > 0, а если плосковершинное, то Ex < 0 (рис. 2.15).

Ex > 0

Ex = 0

Ex < 0

f(x)

x

Рис. 2.15