Рассмотрим пример выполнения практических заданий

Задание 1. Из приведенных результатов эксперимента формируем массив данных:

Определяем средние значения результатов экспериментов в каждом из трех опытов:

Формируем новый массив данных:

Наносим экспериментальные точки и их средние значения в одном из опытов на график:

Рис. 1.2. График с нанесенными экспериментальными точками и их средними значениями в одном из опытов

Задание 2. Если значение давления паров чистых компонентов бензола, дихлорэтана и хлорбензола обозначить соответственно x, у, z, то нахождение их значений возможно при решении следующей системы уравнений:

0,8x + 0,ly + 0,lz = 1840

0,2x + 0,7y + 0,lz = 1860

0,05x + 0,05y + 0,9z = 236

Запишем данную систему уравнений в MathCAD:

Также можно реализовать конструкцию M^-1×v в виде встроенной функции

Задание 3. B качестве примера разберем вариант №0.

Для нахождения коэффициентов уравнения A, B, D составим систему уравнений:

B результате получим:

Контрольные вопросы

1. Что используется для при анализе сложных систем в качестве объекта исследования?

2. По чему исследователь судит о внутренней структуре и сущности связей между входными и выходными величинами исследуемого объекта?

3. Что подразумевается под понятием эксперимент?

4. В виде чего описываются свойства предметов, явлений и их отношений?

5. Сформулировать задачу, которую можно решить используя метод наименьших квадратов.

6. Что такое интерполяция?

7. Какая задача называется сглаживанием (аппроксимацией)?

8. Что такое суммарная невязка?

9. Описать вычисление линейной зависимости y(x) = b₀ + b₁х.

ЛБ2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ

 

Цель работы: изучить основные методы, применяемые для решения задач линейного программирования (задач планирования работы транспортных систем) с использованием MS Excel.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Линейное программирование ^[1] (ЛП) – математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, которые задаются системами линейных уравнений и неравенств. ЛП является одним из разделов математического программирования.

Типичной задачей ЛП является следующая: Найти максимум линейной функции

(1)

при условии

(2)

(3)

где, c_j, a_ij и b_i – заданные величины.

Задачи ЛП являются математическими моделями многочисленных задач технико-экономического склада (задач планирования, транспортных задач и т.д.).

На рис.1.1. показанные этапы принятия управленческих решений.

Рис.1.1. Этапы принятия и реализации управленческих решений

На рис.1.2 представленный процесс моделирования относительно первых двух этапов принятия решений.

Рис.1.2. Процесс моделирования

Диаграмма процесса состоит из верхней и нижней частей, разделенных пунктирной линией. Нижняя часть характеризует реальный мир, с которым постоянно сталкиваются управленцы (менеджеры), призванные принимать решение в сложных ситуациях (например, разработка маршрутов движения автомобильного транспорта, закрепление автомобилей за маршрутами и тому подобное). Процесс моделирования начинается с исследования ситуации, которую нужно решить (в левом нижнем углу диаграммы).

Ранее при принятии решения управленцы привыкли полагаться главным образом на свою интуицию. Руководствуясь при принятии решений только на интуицию, управленец может исходить только из конечных результатов ранее принятых решений. Такой процесс принятия решений очень дорого обходится и не всегда дает положительный результат.

Процесс моделирования (рис.1.2 над пунктирной линией) рекомендует набор действий, которые призваны дополнить (не заменить!) интуицию при принятии решений. При этом создается формализованная модель проблемных аспектов управленческой ситуации, что представляет суть проблемы.

Построенная количественная модель анализируется с целью получения определенных результатов и выводов, которые вытекают исключительно из модели, не зависимо от того, какие предположения и абстрактные построения лежали в ее основе. После этого, полученные результаты интерпретируются для существующей реальной ситуации с учетом тех факторов, которые не учитывались ранее в процессе формализации задачи. Процесс моделирования, дополненный опытом и интуицией управленца, позволяет принять более удачное решение.

Модель следует использовать в том случае, если с ее помощью принимаются более удачные решения, чем без нее.

Способы использования моделей точно так же разнообразные, как и люди, их создающие. С помощью моделей можно продать идею или проект, заказать оптимальное количество автомобильной техники или лучше организовать работу гигантской многонациональной корпорации. В любом случае, модели обеспечивают целостный логический анализ объекта моделирования.

Модели широко используются благодаря тому, что заставляют выполнить следующие действия.

1. Явно определить цели.

2. Определить и зафиксировать типы решений, которые влияют на достижение этих целей.

3. Выявить и зафиксировать взаимосвязи и компромиссы между этими решениями

4. Тщательным образом изучить переменные, которые в них входят, и определить возможность их измерения.

5. Разобраться, какие данные нужны для количественного определения значений переменных и найти способ описать их взаимное влияние.

6. Осознать, какие ограничения могут налагаться на значение этих переменных.

7. Обсудить идеи, что помогает членам группы управления в совместной работе.

Как следует из перечисленного выше, модель можно использовать как целостное средство для оценки и обсуждения разных вариантов политики компании, если каждый вариант или ряд решений оценивается из одних и тех же позиций, согласно тем же формулам, которые описывают взаимосвязи и ограничения. Более того, модели можно проверить непосредственно на практике и усовершенствовать, используя опыт, что является разновидностью адаптивной учебы.

Наконец, следует отметить, что основанные на электронных таблицах модели предоставляют управленцам возможность систематически использовать мощные аналитические методы, ранее им неприступные. Такие модели позволяют оперировать огромным числом переменных и описывать их взаимосвязи, что не по силам сделать в уме.

Типы моделей

Существует три типа моделей.

Конструкторы создают макеты автомобилей, самолетов, а архитекторы - макеты городов. Это физические модели.

Второй тип моделей - аналоговые модели - используется настолько часто, что иногда это даже не осознается. Эти модели представляют множество связей с помощью различных аналоговых посредников. Карта основных дорог является аналоговой моделью территории, автомобильный спидометр представляет скорость с помощью аналогового отображения стрелки датчика, а круговая диаграмма представляет результаты социологического опроса в виде секторов круга.

Наиболее абстрактной является символическая модель, в которой все понятия выводятся посредством количественно определенных переменных, а все связи представляются в математическом, а не физическом или аналоговом виде. Например, физики создают количественные модели вселенной, экономисты - количественные модели экономики. Поскольку в символических моделях используются количественно определенные переменные, связанные уравнениями, их часто также называют математическими моделями, количественными моделями или, как в нашем случае, табличными моделями (т.е. моделями на основе электронных таблиц).

Управленцам приходится работать со всеми тремя типами моделей, чаще всего - с аналоговыми моделями в форме диаграмм и графиков, а также с символическими моделями в виде электронной таблицы или отчетов информационно-управляющей системы. Краткая характеристика трех типов моделей представлена в табл. 1.

Несмотря на их различия, все модели имеют одно общее свойство:

Любая модель является тщательно выбранной абстракцией реальности, которая отражает представления ее создателя о причинных связях в реальном мире.

В лабораторной работе основное внимание будет уделено созданию символических моделей (представленных в электронных таблицах) и их анализу с целью получения числовых (в виде таблиц) и аналоговых (в виде диаграмм) результатов.

Таблица 1.

Тип модели	Свойства	Примеры
Физическая модель	Осязаемость Понимание: простое Дублирование и совместное использование: сложные Модификация и манипулирование: сложные Сфера использования: наиболее узкая	Макет самолета, макет дома, макет города
Аналоговая модель	Неосязаемость Понимание: более сложное Дублирование и совместное использование: более простые Модификация и манипулирование: более простые Сфера использования: более широкая	Карта дорог, спидометр, круговая диаграмма
Символическая модель	Неосязаемость Понимание: самое сложное Дублирование и совместное использование: самые простые Модификация и манипулирование: самые простые Сфера использования: самая широкая	Имитационная модель, алгебраическая модель, модель, построенная в электронной таблице

Символические (количественные) модели. Как следует из приведенного ранее определения, символические модели используют математические закономерности для отображения связей между представляющими интерес данными. Необходимо, чтобы эти данные были количественными, т.е. их можно было выразить в числовой форме.

Рассмотрим часто встречающиеся примеры. В модели для оценки альтернативных решений, состоящих в распределении автомобилей по маршрутам движения, учитываются требуемые расход горючего, стоимость проезда, график движения и другие характеристики, говоря коротко, числовые данные. В модели, которая помогает принять решение, стоит ли получать степень магистра, должны рассматриваться время обучения, плата за него и другие расходы, потенциальная заработная плата и т.д., - опять числовые данные. Таким образом, числовые данные - основное содержание символических моделей.

Рассмотрим более подробно простейший пример символической модели. Если человек находится в Киеве и планирует к обеду быть в Харьков, ему требуется оценить время, которое нужно затратить, чтобы доехать автомобилем из Киева до Харькова. Для этого нужно с помощью атласа или Internet определить расстояние между этими городами и разделить его на среднюю скорость движения. Таким образом, модель имеет следующий вид:

,

где Т - время в пути, D - расстояние, a S - средняя скорость.

Такая модель, безусловно, полезна, однако она упрощает реальность, поскольку в ней игнорируются многие факторы, которые могут заметно повлиять на время движения.

В модели не учитываются разнообразные задержки, погодные условия, остановки для заправки и т.д. Тем не менее, если планируется выехать в 8 утра, а Т = 6 часов, можно считать, что модель вполне удовлетворяет поставленным целям, т.е. показывает, что вполне реально оказаться в Харькове к обеду.

Теперь предположим, что выехать ранее полудня нельзя, а в 18:30 назначена важная встреча в Харькове. В таком случае оказывается, что модель слишком проста, чтобы чувствовать себя уверенно, и возникает желание приблизить ее к реальности, включив дополнительные условия. Можно, например, добавить выражение, отражающее остановки в пути. Тогда модель примет следующий вид:

,

где R - среднее время остановки, а N - предполагаемое количество остановок.

Можно продолжить совершенствование модели, учитывая все новые факторы. Некоторые из них могут быть оценены только приблизительно.

О моделях необходимо постоянно помнить следующее.

1. Модель всегда в той или иной степени упрощает реальность.

2. Модель должна быть настолько подробной, чтобы

результат удовлетворял вашим потребностям;

степень подробности соответствовала доступным данным;

модель можно было проанализировать за то время, которое вы в состоянии уделить этому занятию.

Модели принятия решений. В лабораторной работе основное внимание уделяется моделям принятия решений: символическим моделям, в которых определенные переменные представляют решения, которые нужно (или по крайней мере можно) принять. Очевидно, что сократить расстояние между Киевом и Харьковом невозможно. Однако можно выбрать скорость движения, количество остановок и время, затраченное на каждую из них. Это и есть переменные решения. На эти переменные также могут налагаться определенные ограничения - нельзя ехать со скоростью больше 120 км/ч, бензобак имеет ограниченную емкость, заправка требует определенного времени и т.д. Подобные ограничения являются основой построения реалистических моделей.

Цели. Обычно решения принимаются для достижения определенной цели. Таким образом, помимо переменных, модель принятия решения, как правило, содержит явный критерии эффективности, который позволяет определить, насколько решение близко к цели. При построении модели чрезвычайно важно указать, как переменные решения будут влиять на указанный критерий. Рассмотрим следующие примеры.

1. Модель распределения автобусов по маршрутам движения. Переменные решения - сколько водителей необходимо привлечь к работе. Типичным критерием эффективности является доход, а цель состоит в максимизации дохода от оплаты за проезд.

2. Составление расписания работы автомобильной мастерской. Переменные решения - сколько часов конкретный подъемник обслуживает автомобили и затраты электрической энергии для этого. Возможные цели - минимизировать затраты, общее время выполнения заказа.

Подведем итог.

1. Модели принятия решений описывают управленческую ситуацию, но не всеохватно, а выборочно.

2. В моделях определяются переменные, влияющие на решения.

3. В моделях принятия решений задаются критерии, отражающие цели моделирования.

Построение моделей. Все модели (и простые, и сложные) создаются человеком. К сожалению, не существует экспертных систем для построения моделей (за исключением очень узких специализированных приложений). Возможно, когда-нибудь революция в вычислительной технике и программном обеспечении приведет к созданию автоматизированных пакетов для построения моделей управления. Однако в настоящее время построение моделей в значительной степени является искусством, которое требует определенного воображения, а также владения техническими знаниями.

Для моделирования ситуации вначале нужно представить ее структурированным образом, т.е. необходимо выработать некий способ, который позволит системно обдумать данную ситуацию. Следует помнить, что чаще всего приходится иметь дело с формулировками управленческих ситуаций в виде неких признаков, а не в форме четкой постановки проблем. Например, представитель перевозчика в Киеве сообщает, что главный конкурент обошел вашу фирму, предложив обработку заказов по электронной почте через Internet. В повседневном смысле - это управленческая проблема, но в нашем понимании - это признак. Постановка проблемы включает в себя возможные решения и метод измерения их эффективности - две ключевые составные части любой модели. Структурирование - это искусство переходить от симптома к четкой постановке проблемы. Это исключительно важное умение, которым должен обладать управленец, чтобы успешно разрабатывать модели.

При количественном моделировании конкретной ситуации необходимо описывать взаимодействия многих переменных. Для этого нужно сформулировать математическую модель. При этом необходимо помнить, что в реальном мире обычно не существует единственно верного способа построения модели. Различные модели могут дать различные представления об одной и той же ситуации, как на картинах Пикассо и Ван-Гога один и тот же предмет будет выглядеть по-разному. Хотя моделирование является искусством, в нем, как и в искусстве в целом, существуют общие принципы.

Процесс моделирования можно условно разделить на три этапа.

1. Изучение среды с целью структурирования управленческой ситуации.

2. Формализация представления о ситуации.

3. Построение символической (количественной) модели.

Изучение среды. Новички в моделировании обычно недооценивают значение первого этапа - изучения конкретной управленческой ситуации с целью ее структурирования. В результате поставленная проблема зачастую является не адекватным обобщением реальной ситуации, а всего лишь описывает некий ее признак. Многие факторы, например, внутриорганизационные конфликты, различия в целях начальников и подчиненных, а также общая сложность ситуации, могут мешать управленцу правильно представить ситуацию. Предполагается, что определенные факты известны, в то время как на самом деле это не так. При структурировании управленческой ситуации создатель модели должен выбрать и вычленить из всей среды аспекты, присущие рассматриваемой ситуации. Важнейшей составляющей успеха является опыт - как создания моделей, так и работы в соответствующей среде.

Формализация. Второй этап, формализация представления о ситуации, заключается в концептуальном анализе, во время которого необходимо принять определенные предположения и упрощения. Поскольку рассматриваемая управленческая ситуация включает в себя цели и решения, их необходимо явно указать и определить. Может существовать несколько способов определить переменные решения, и не всегда сразу удается найти наиболее подходящее определение. Цели также могут быть не вполне ясны. Даже самые способные управленцы могут не иметь точного представления о том, какие результаты они хотят получить.

Проблемы возникают и в том случае, когда целей слишком много и необходимо выбрать одну из них. (обычно невозможно одновременно оптимизировать две различные цели. Поэтому, как правило, бессмысленно пытаться получить "наибольшую прибыль при минимальных вложениях" или "максимальные блага для большинства людей".)

На рис. 1.3 представлен первый (зачастую наиболее важный) этап формализации управленческого решения для формулировки задачи - выявление основных концептуальных составляющих модели. На данном этапе детали работы модели не рассматриваются. Основное внимание уделяется определению:

1) входов, т.е. того, что модель должна обрабатывать;

2) выходов - того, что модель производит.

Модель на данном этапе называется "черным ящиком", поскольку еще не известно, какая логика будет реализована в модели.

 

Рис. 1.3. Модель в виде "черного ящика"

После определения входов и выходов модели необходимо разбить их на две категории. Входы, именуемые внешними переменными, делятся на решения - переменные, контролируемые управленцем, и параметры - переменные, которыми управленец управлять не может.

Примерами переменных решения могут служить сумма, в которую менеджер оценивает свой труд, размещение производственного оборудования или решение, продавать автомобиль или нет.

Примеры параметров: цены, назначаемые конкурентами на аналогичные автомобили или услуги, физические ограничения объема помещения автосервиса, стоимость перевозки пассажиров автомобильным транспортом или прогнозируемое количество пассажиров на маршруте. Многие неконтролируемые входные величины могут быть неизвестны заранее. Трактуя их как параметры, можно строить модель так, как если бы они были известны. Позднее можно конкретизировать численные значения данных величин, проанализировав данные и оценив эти значения, или просто задать предполагаемые значения величин при анализе модели.

Выходы, называемые внутренними переменными, делятся на показатели эффективности (или критерии) - переменные, которые определяют степень приближения к цели, и результирующие переменные, которые отражают другие следствия моделирования и помогают понимать и интерпретировать результаты работы модели. Критерии особенно важны, так как именно они используются, чтобы определить, насколько удалось приблизиться к конечной цели. Поэтому критерии часто называют целевыми функциями. Примерами целевых функций являются доход, доля рынка, совокупные издержки, дисциплина работников, удовлетворение клиента, доходы от инвестиций. Примеры результирующих переменных - разбивка дохода по статьям, количество автомобильных маршрутов перевозки пассажиров, уплаченные налоги и другие величины, которые полезно знать.

Несмотря на простоту концептуальной схемы "черного ящика", она заставляет управленцев в самом начале процесса моделирования определить, что следует включить в модель, а что исключить из нее, а также разобраться с классификацией соответствующих факторов.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание 1.

Задача. Для открытия нового маршрута перевозки пассажиров предприятию необходимо арендовать микроавтобусы по цене 1350 грн. в месяц за микроавтобус.

Рассчитать:

1. Чистый доход предприятия при перевозке 3600 пассажиров 1 микроавтобусом в месяц;

2. Провести расчеты для трех вариантов оплаты за стоянку микроавтобусов:

арендная плата фиксирована 280 грн.;

арендная плата 150 грн. плюс 0,5% стоимости перевозки 1 пассажира;

арендная плата 175 грн. плюс 1% стоимости перевозки более плана (2000) пассажиров.

Для проведения расчетов используются формулы:

Пза = А + Об + Згсм;	Соб = Ц – Пзб;	Д = Авт * Пас * Ц;
Ком = Авт * Пас * Ст2; (для Варианта 2)	(для Варианта 3)
Спз = Авт ´ Пас ´ Пзб	Пр = Д – Спз;	Оар = Авт * (Пз + Апл);
Чд = Пр – Оар;

где,

А	- арендная плата за 1 микроавтобус;
Авт	- количество арендуемых автомобилей;
Апл	- арендная плата за стоянку 1 микроавтобуса в месяц;
Д	- среднемесячный доход;
Згсм	- затраты на ГСМ;
Ком	- выплаченные комиссионные;
Мпас	- минимальное количество пассажиров для начисления комиссионных по варианту 3.
Оар	- общие и административные расходы;
Об	- стоимость обслуживания одного автомобиля;
Пас	- число пассажиров, перевозимых одним микроавтобусов за месяц;
Пз	- постоянные затраты;
Пза	- постоянные затраты на автомобиль;
Пзб	- переменные затраты на 1 билет;
Пр	- прибыль предприятия;
Соб	- реальная стоимость одного билета;
Спз	- стоимость переменных затрат;
Ст2, Ст3	- процентные ставки для вариантов 2 и 3 соответственно;
Ц	- цена билета;
Чд	- чистый доход

Исходные данные:

Число арендуемых автомобилей (переменная решения)
Количество пассажиров, перевозимых 1 микроавтобусом в месяц (переменная решения)
Цена билета (переменная решения) (грн.)
Переменные затраты на 1 билет (дизайн, печать и т.д.) (переменная решения) (грн.)	0,45
Ежемесячная арендная плата за 1 микроавтобус (переменная решения) (грн.)
Арендная плата за стоянку (грн.)
Обслуживание (грн.)
Затраты на ГСМ (грн)

Порядок выполнения

1. Создать таблицу для проведения вычислений и заполнить ее исходными данными (рис.1.1.1).

Рис.1.1.1. Таблица с исходными данными для задания 1.

2. В соответствующие ячейки ввести формулы для расчетов.

Примечание. При вводе формул вместо переменных указывать адреса ячеек, где находятся их данные (значения), а также использовать возможности копирования однотипных формул из ячейки в ячейку.

Например, для ввода формулы Пза = А + Об + Згсм в ячейку В6 ввести =B3+B4+B5.

 

В ячейку В6 – расчет постоянных затрат на 1 машину

Пза = А + Об + Згсм

В ячейку D6 – реальная стоимость одного билета

Соб = Ц – Пзб

В ячейки В15, С15, D15 – общий среднемесячный доход

Д = Авт * Пас * Ц

В ячейки В16, С16, D16 – стоимость переменных затрат

Спз = Авт ´ Пас ´ Пзб

В ячейку C17 – выплаченные комиссионные (для варианта 2)

Ком = Авт * Пас * Ст2

В ячейку D17 – выплаченные комиссионные (для варианта 3) [2]

В ячейки В18, С18, D18 – общая прибыль

Пр = Д - Спз - Ком

В ячейки В19, С19, D19 – общие и административные расходы

Оар = Авт * (Пз + Апл)

В ячейки В20, С20, D20 Чистый доход предприятия

Чд = Пр – Оар

3. Вид таблицы с формулами и исходными данными приведен на рис. 1.1.2.

Рис.1.1.2. Вид таблицы с исходными данными и формулами

4. Отформатировать таблицу и привести ее к виду так как показано на рис.1.1.3.

Рис.1.1.3. Результаты решения задачи

 

Задание 2.

Задача. На основании проведенных расчетов определить количество перевозимых пассажиров, чтобы предприятие не было банкротом (т.е. чистый доход равен 0).

Порядок выполнения

Для выполнения данного задания необходимо использовать режим “ Подбор параметра… ”, вызов которого осуществляется из меню “ Сервис ”.

1. Установить курсор в ячейку В20.

2. Вызвать режим подбор параметра “ Подбор параметра… ” и в появившемся окне (рис.1.2.1-а) задать Значение (предприятие не банкрот – доход равен нулю) и Изменяя значение ячейки (количество перевозимых пассажиров, чтобы достичь указанное значение) (рис.1.2.1-б).

Рис.1.2.1. Исходное и заполненное окно режима Подбор параметра…

3. Нажать клавишу ОК.

Результаты решения задачи приведены на рис.1.2.2.

Рис.1.2.2. Результаты решения задания 2

4. Для варианта 2 самостоятельно определить количество перевозимых пассажиров, чтобы предприятие было рентабельным и имело прибыль 1000000 грн.

5. Для варианта 3 самостоятельно определить количество микроавтобусов для перевозки пассажиров, чтобы предприятие было рентабельным и имело прибыль 50000 грн.

 

Задание 3. Расчеты проводить на новом листе.

Для открытия нового маршрута перевозки пассажиров АТП необходимо арендовать легковые автомобили (стоимость аренды и число перевозимых пассажиров взять из заданного преподавателем варианта (табл.3.1), остальные данные - из задания 1).

Построить модель, аналогичную заданию 1.

Кроме этого, в постоянные затраты включить графу Заработок водителя и установить его в размере 2000 грн., при этом формула расчета постоянных затрат 1 автомобиль измениться:

Пза = А + Об + Згсм + Зарплата;

Рассчитать:

1. чистый доход АТП в зависимости от варианта;

2. На основании проведенных расчетов определить минимальную заработную плату водителя если чистый доход предприятия указан в заданном варианте.

Таблица 3.1

Варианты заданий

№ варианта	Стоимость аренды	Перевозимых пассажиров	Чистый доход АТП