Запишите формулы для вычисления угла между прямыми

Пусть даны две прямые:

или

Тогда угол находится по формуле:

или

157. Как охарактеризовать взаимное расположение двух прямых А₁х+В₁у+С₁=0, А₂х+В₂у+С₂=0?

Первое, что нужно сделать – проверить на параллельность. В этом случае угол между ними будет равен нулю. Если же угол нулю не равен, то нужно определить, в одной или в разных плоскостях они находятся. В первом случае они будут пересекаться, во втором – скрещиваться. Для определения этого пункта необходимо найти расстояние между этими прямыми: если нуль, то в одной плоскости.

Уравнения этих прямых также можно записать в виде:

и

или

и

где

Теперь можно запросто найти расстояние между двумя прямыми:

158. Запишите в векторной и координатной форме уравнения плоскости, проходящей через точку М₀(х₀,у₀,z₀) перпендикулярно вектору ={А,В,С}.

У точки есть радиус-вектор .

1) Векторная форма уравнения плоскости:

,

где – радиус-вектор произвольной точки на плоскости.

2) Координатная форма уравнения плоскости:

Запишите общее уравнение плоскости. Охарактеризуйте его коэффициенты.

Общее уравнения плоскости:

,

где .

160. Запишите в векторной и координатной форме уравнения плоскости, проходящей через точку М₀(х₀,у₀,z₀) с радиусом вектором параллельно векторам ={m₁,n₁,p₁} и ={m₂,n₂,p₂}.

Можно положить , тогда уравнение плоскости в векторной форме:

и в координатной форме:

161. Запишите формулу вычисления расстояния от точки М₀(х₀,у₀,z₀) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0.

162. Как найти угол между двумя плоскостями А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0?

163. Как охарактеризовать взаимное расположение трёх плоскостей по заданным общим уравнениям?

Пусть имеется три плоскости, заданные уравнениями:

При этом им соответствуют их нормальные векторы:

Далее рассмотрим различные случаи:

1) Если смешанное произведение трёх нормальных векторов не равно нулю, то все три плоскости пересекаются в одной точке, координаты которой можно найти, решив систему:

2) Если смешанное произведение нормальных векторов равно нулю, и при этом система не имеет решений, то возможен один из следующих вариантов:

a) две плоскости совпадают, а третья параллельна им;

b) все три плоскости параллельны друг другу;

c) две плоскости параллельны, а третья пересекает их;

d) каждая пара плоскостей пересекается, при этом все три вектора лежат в одной плоскости.

3) Если смешанное произведение нормальных векторов равно нулю, и при этом система имеет бесконечное множество решений, то возможен один из следующих вариантов:

a) все три плоскости совпадают;

b) две плоскости совпадают, а третья пересекает их;

c) все три плоскости пересекаются по одной прямой, но все три вектора лежат в одной плоскости.