Понятие канонического вида и главных осей квадратичной формы

Канонический вид квадратичной формы – случай, когда в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных.

Главные оси квадратичной формы – векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Опишите процесс приведения квадратичной формы к главным осям.

Для приведения квадратичной формы к главным осям нужно отыскать собственные числа и собственные векторы матрицы , а также ортогонализовать полученную систему векторов в случае наличия кратных собственных чисел.

141. Дайте определение уравнения плоской кривой относительно декартовой системы координат.

Уравнение называется уравнением кривой на плоскости, если координаты любой точки удовлетворяют этому уравнению, и любое решение уравнения определяет точку, принадлежащую .

142. Запишите уравнение окружности с центром в точке (х₀,у₀) радиуса R.

Дайте определение уравнения поверхности S относительно декартовой системы координат.

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

или в матричном виде:

в котором, по крайней мере, один из коэффициентов , , , , , отличен от нуля.

144. Дайте определение сферы. Запишите уравнение сферы с центром в точке, М₀(х₀,у₀,z₀) радиуса R.

Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от центра сферы.

Укажите способы задания кривой в пространстве.

Кривую в пространстве можно задать системой параметрических уравнений:

, причём ,

либо через вектор-функцию, фактически означающую то же самое: .

146. Охарактеризуйте поверхности, задаваемые уравнениями F(x,y)=0, F(x,z)=0, F(y,z)=0.

Все эти поверхности – цилиндрические, разница в расположении: ось вращения будет параллельна оси, координата которой отсутствует в параметрах.

147. Охарактеризуйте поверхность, задаваемую однородным уравнением F(x,y,z)=0. Объясните, какое уравнение называется однородным.

Однородная функция степени – функция, для которой при любом значении выполняется условие

Однородное уравнение – уравнение , в котором функция является однородной.

Однородным уравнением определяется коническая поверхность с вершиной в начале координат.

148. Охарактеризуйте поверхности, задаваемые уравнениями типа F(x, )=0, F(y, )=0, F(z, )=0.

Как мы видим, эти уравнения очень похожи на уравнения цилиндров, из чего мы можем сделать вывод, что это цилиндрические поверхности с очень странной формой.