Дифференциальные уравнения высших порядков. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Такие уравнения имеют вид и , где - действительные числа, а функция f(x) непрерывна на интервале интегрирования X.

Сформулируем две теоремы, которые показывают, в каком виде искать общие решения ЛОДУ и ЛНДУ n-ого порядка.

Теорема.

Общим решением y₀ линейного однородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными коэффициентами на X является линейная комбинация nлинейно независимых частных решений ЛОДУ с произвольными постоянными коэффициентами , то есть .

Теорема.

Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными на том же промежутке X коэффициентами и функцией f(x)представляет собой сумму , где y₀ - общее решение соответствующего ЛОДУ , а - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.

Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ищем в виде , где - какое-нибудь его частное решение, а – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения .

Сначала разберемся как находить - общее решение ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами, а в конце статьи покажем как определить частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Алгебраическое уравнение n-ого порядка называетсяхарактеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами вида . Если мы найдем все n корней характеристического уравнения , то, исходя из их значений, можно определить n частных линейно независимых решений исходного ЛОДУ.

Перечислим все возможные варианты и разберем примеры на каждый из них.

1. Если все решения характеристического уравнения действительные и различные, то линейно независимые частные решения имеют вид

а общее решение ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами записывается как

Пример.

Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни, предварительно разложив многочлен в левой части равенства на множители способом группировки:

Все три корня характеристического уравнения действительные и различные, поэтому общее решение ЛОДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.

2. Если все решения характеристического уравнения действительные и одинаковые, то есть, , то линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами имеют вид

а общее решение ЛОДУ имеет вид

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение этого ЛОДУ четвертого порядка имеет вид .

Если обратиться к формуле бинома Ньютона, то характеристическое уравнение можно переписать в виде , откуда виден его четырехкратный корень k₀ = 2.

Таким образом, общее решение исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами есть
.

3. Если решениями характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами являются различные комплексно сопряженные пары , n=2m, то линейно независимые частные решения такого ЛОДУ имеют вид

а общее решение записывается как

Пример.

Проинтегрируйте линейное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами .

Решение.

Характеристическим уравнением данного ЛОДУ является . После проведения несложных преобразований и группировки получаем

Отсюда легко найти две пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения и . Следовательно, общее решение исходного линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

4. Если решениями характеристического уравнения являются совпадающие комплексно сопряженные пары , то линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами имеют вид

а общее решение такого ЛОДУ есть

Пример.

Найдите общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение данного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и найдем его корни:

То есть, решением характеристического уравнения является двукратная комплексно сопряженная пара . Поэтому общим решеним исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами является
.

5. Возможны любые комбинации предыдущих случаев, то есть, часть корней характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами действительные и различные, часть действительные и совпадающие, часть различных комплексно сопряженных пар и часть совпадающих комплексно сопряженных пар.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение данного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид .

Многочлен в левой части равенства можно разложить на множители (смотрите раздел разложение многочлена на множители). Среди делителей свободного члена находим двукратный корень k₁=k₂=2 и корень k₃=-3. Используя схему Горнера, приходим к разложению .

Из квадратного уравнения находим оставшиеся корни .

Таким образом, общее решение исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

Итак, мы разобрали основные случаи, при которых можно найти y₀ - общее решение ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Теперь переходим к нахождению общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений n-ого порядка с постоянными коэффициентами вида .

Их общее решение представляется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного ЛНДУ, то есть, как . Так как мы научились находить y₀, то осталось научиться определять - частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка n с постоянными коэффициентами.

Перечислим методы нахождения в зависимости от вида функции f(x), которая находится в правой части рассматриваемого ЛНДУ.

1. Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = P_n(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен степени n, а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю.

2. Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных .

3. Если функция f(x) имеет вид , где А₁ и В₁ – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В– неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных .

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида где p, q − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение: Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи: Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией где C1 и C2 − произвольные действительные числа. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1 = α + βi, k1 = α − βi. Общее решение записывается в виде Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение y'' − 6y' + 5y = 0. Решение. Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение: Корни данного уравнения равны k1 = 1, k2 = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид: где C1 и C2 − произвольные постоянные.

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения y'' − 6y' + 9y = 0. Решение. Вычислим корни характеристического уравнения: Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k1 = 3. Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой где C1, C2 − произвольные действительные числа.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение y'' − 4y' + 5y = 0. Решение. Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и определим его корни: Таким образом, характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней: k1 = 2 + i,k2 = 2 − i. В этом случае общее решение выражается формулой где C1, C2 − произвольные постоянные.

Пример 4

Решить уравнение y'' + 25y = 0. Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: Корни этого уравнения являются чисто мнимыми: Тогда ответ записывается в следующем виде: где C1, C2 − постоянные интегрирования.

Пример 5

Решить уравнение y'' + 4iy = 0. Решение. В данном уравнении коэффициент перед y является комплексным числом. Общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными комплексными коэффициентами конструируется так же, как и в случае действительных коэффициентов. Сначала запишем характеристическое уравнение: Определим корни уравнения: Вычислим отдельно квадратный корень из мнимой единицы. Для этого число i удобно представить в тригонометрической форме: Корни характеристического уравнения будут равны: Общее решение исходного дифференциального уравнения будет выражаться линейной комбинацией следующих экспоненциальных функций: где C1, C2 − произвольные постоянные. 39.Основные понятия комбинаторики. Комбинато́рика— раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике). Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Число всех перестановок порядка n равно факториалу: Pn=n! Факториа́лчисла n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. 1! = 1, 2! = 2•1 = 2, 3! = 3 •2 •1 = 6, 4! = 4 •3 •2 •1 = 24, Задача.Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики? Решение: На первое место можно положить любой из четырех шариков, на второе – любой из трех оставшихся, на третье – любой из двух оставшихся, а на четвертое – последний оставшийся шарик. Итак, ответ: 4 • 3 • 2 • 1 = 4!. Задача. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9? Решение. Перечислим все возможные варианты:   20 22 26 30 32 36 60 62 66 70 72 76 90 92 96     Вопрос 40. Определение вероятности. Основные понятия. Явление, действие или эксперимент будем называть испытанием. Результат такого испытания будем называть событием или исходом. Вероятность какого либо события обозначается P. P(A)-вероятность наступления события А. Событие называется достоверным, если оно происходит в результате некоторого испытания. Обозначается V=1. V-считается невозможным, если оно некогда не наступает в результате некоторого испытания. Вероятность какого либо события 0≤P(A)≤1 События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое. P(A)= Вопрос 41. Основные определение теории множеств. Диаграммы Эйлера-Венна. Под множеством принято понимать совокупность объединенных по общим признакам различных предметов. Множества будем обозначать прописными латинскими буквами A, B,C, …, X, Y, Z, а элементы, принадлежащие данным множествам – строчными a, b, c, …, x, y, z. Если a есть элемент множества A, то пишут . Если a не является элементом множества A, пишут . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Æ. Рассматриваемое исходное множество называется универсальным и обозначаются U. Если все элементы множества A являются также элементами множества B, то говорят, что А включается в B или A является подмножеством множества B и обозначается . Если , то говорят, что A=B или A совпадает с B.

Диаграмами Ейлера-Вена называються фигури, с помощью которых изобрахают на плоскости множества и наглядно демонстрируют свойства операций над множествами. Прямоугольник на плоскости означает некоторое универсальное множество, которое включает в себя рассматриваемые множества.

Диграма Ейлера- Вена

Объединением двух множеств A и B называется множество, составленное из элементов, входящих хотя бы в одно из данных множеств, оно обозначается . Соответствующая диаграмма Ейлера- Вена:

Объединением некоторой совокупности множеств называется множество S, составленное из всех элементов, входящих хотя бы в одно из слагаемых множеств , и обозначаемое .

Пересечением двух множеств A и B называется множество, составленное из всех элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B, и обозначается . Соответствующая диаграмма Ейлера- Вена:

рямым (или декартовым) произведением двух множеств A и B называется множество всевозможных пар (x, y), где . Произведение множеств A и B обознначается .

Дополнением к множеству A называется множество , состоящее из элементов универсального множества, U не принадлежащих множеству A, т.е. .

Рисунок5. Дополнение к множеству A

 

Операции над множествами имеют следующие свойства:

1. Коммутативность: .

2. Ассоциативность: .

3. Дистрибутивность: .

4. Законы де Моргана: .

Определения теории графов. Планарность. Построение плоских укладок графа.