Глава 3. Элементы аналитической Геометрии 4 страница

, т.е. всегда находятся на действительной оси. Эксцентриситет гиперболы равен , а сопряжённой гиперболы - , но в в обоих случаях .

Эксцентриситет гиперболы (сопряжённой гиперболы опре -деляет форму основного прямоугольника.

 

Рассмотрим пример. Привести уравнение к каноническому виду и построить линию:

Сгруппируем переменные и выделим полные квадраты:

Разделим полученное равенство на 36:

Получили уравнение гиперболы с центром симметрии, смещён- ным в точку . Для данной гиперболы , . Эксцентриситет гиперболы равен . Её асимптоты имеют уравнения

Построим эту линию

 

 

-1

-2

 

 

 

Для эллипса и гиперболы, заданных соответствующими ка- ноническими уравнениями:

можно задать уравнения прямых, которые называются ди -ректрисами, с помощью уравнений (для случая эллипса с большей полуосью и для случая сопряжённой гиперболы уравнения директрис имеют вид: ).

В случае эллипса:

 

 

 

 

Для гиперболы:

 

 

Основное свойство директрис: если - рас -стояние до ближайшего фокуса, а - расстояние до соот -ветствующей директрисы , то .

 

Таким образом, с помощью основного свойства директрис, эллипс и гиперболу можно определить, как множества точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответс- твующей директрисы - величина постоянная, равная эксцент- риситету , причём для эллипса , а для гиперболы . В случае получаем ещё одну линию - параболу.

 

4. Парабола. Параболой называется геомнтрическое место точек плоскости, равноудадённых от данной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.

Введём на плоскости систему координат: ось проходит через фокус перпендикулярно директрисе. Ось перпендику- лярна оси и проходит на одинаковом расстоянии между от фокуса и директрисы. Пусть расстояние от фокуса до ди –ректрисы равно

 

 

 

 

 

 

По определению параболы, расстояние от фокуса до точки равно длине отрезка . Тогда . Возведём в квадрат это равен- ство: . Таким образом, полу- чаем каноническое уравнение параболы:

(9)

Построим эту линию. Она симметрична относительно оси (так как входит в уравнение в чётной степени).

 

 

 

 

 

Точка является вершиной параболы, ось - ось её сим- метрии. Кроме параболы , можем рассмотреть ещё параболы и , которые вы – глядят, соответственно, следующим образом:

 

 

 

Рассмотрим пример. Привести к каноническому виду уравне- ние следующей линии и построить её:

Преобразуем это уравнение:

Вершина параболы находится в точке . . Построим эту линию.

 

 

.

 

Оптическое свойство параболы: Если источник света рас -положен в фокусе параболы, то отражённый луч распространя- ется по прямой

 

 

 

Мы рассмотрели основные линии второго порядка.

 

Рассмотрим теперь пример полного преобразования уравне- ния линии 2 – го порядка с помощью параллельного переноса и поворота системы координат.

 

Привести к каконическому виду уравнение линии. Выпол- нить построение линии:

Выполним параллельный перенос системы координат по формулам (2): . Получим:

С помощью параллельного переноса мы должны избавиться от линейных слагаемых в уравнении, т.е. приравниваем нулю:

Эти равенства должны выполняться для всех , т.е. получаем систему:

 

Тогда: или

Таким образом, перенос системы координат необходимо произвести в точку . При этом получим уравнение:

Чтобы избавиться от смешанного произведения , выпол- ним поворот системы координат по формулам (4):

 

Нам необходимо убрать смешанное произведение, поэтому группируем соответствующие коэффициенты и приравниваем их к нулю:

Учитывая тригонометрические формулы, получаем:

.

 

Перепишем уравнение линии, с учётом того, что смешанного произведения в уравнении не осталось:

или, и тогда: и, окончательно,

Получили каноническое уравнение эллипса с полуосями

. Построим данную линию:

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

Рассмотрим ещё примеры: Пример 1. Построить следующую линию:

Из уравнения видим, что должно быть выполнено: . Возведём равенство в квадрат: . Тогда Получено уравнение окружности с центром в точке радиуса 4.

 

 

 

С учётом условия , мы получаем нижнюю часть окруж –ности.

Пример 2. Построить линию:

. Ограничение: Возведём последнее равенство в квадрат . Это урав- нение параболы с вершиной в точке . . Построим линию:

 

 

 

2

 

-1

 

 

Ввиду условия , выбираем правую ветку параболы.

 

§ 7 ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.

 

Полярная система координат на плоскости определяется за- данием некоторой точки , называемой полюсом; исходящего из этой точки луча , называемого полярной осью и мас -штабной единицей для измерения длин.

Для произвольной точки плоскости координатами в дан- ной системе координат называют полярный радиус , вычисленный в масштабных единицах, и полярный угол между осью и радиус – вектором , т.е. ,

1

Чаще всего предполагают, что или Иногда допускаются отрицательные значения для , но при этом соответствующие значения откладываются на продолжении луча.

Установим связь между полярными координатами точки и её декартовыми координатами. Для этого совместим начало декартовой системы координат с полюсом полярной системы координат, а ось - с полярной осью:

 

 

 

 

 

 

 

Используя тригонометрические формуды легко получаются формулы перехода от декартовых координат к полярным:

(1)

и формулы обратного перехода от полярных координат к де- картовым:

(2)

Чаще всего эти формулы используются комбминированно.

Окружность в полярной системе координат имеет уравнение , или , тогда дпнная линия имеет вид:

 

 

 

Аналогичным образом, окружность имеет в полярных координатах уравнение и соответству- ющий рисунок линии выглядит следующим образои: