Глава 3. Элементы аналитической Геометрии 1 страница

Предметом аналитической геометрии является изучение гео- метрических фигур и их свойств при помощи действий с чис -лами и наборами чисел, однозначно определяющих геометри -ческие фигуры.

 

§ 1. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

 

УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. Рассмотрим равенство , где - переменные величины, принимающие различные действительные значения, - некоторое выражение (композиция известных функций) со- держащее . Если равенство выполняется для всех значений , то оно называется тождеством. Если же равенство выплоняется не для всех пара чисел , то оно называется уравнением линии на плоскости. Простейшим уравнением линии на плоскости яв- ляется уравнение прямой.

 

Из школьного курса известно уравнение прямой с угловым коэффициентом: , где , . (1)

 

 

Если мы знаем угол наклона прямой к оси , т.е. если задан угловой коэффициент этой прямой и задана фиксированная точка на прямой , то, чтобы напи- сать уравнение прямой, удобно воспользоваться формулой:

(2)

Уравнение (1) получится из уравнения (2), если раскрыть скобки и привести подобные.

Например: Написать уравнение прямой, проходящей через точку под углом к оси .

Угловой коэффициент тогда, по фор- муле (2), прямая имеет уравнение:: , или

Рассмотрим произвольную прямую на плоскости. Пусть - фиксированная, а текущая точки дан -ной прямой.

 

 

 

 

Если заданы векторы , перпендикулярный прямой (нормаль или нормальный вектор), или , парал -лельный данной прямой (направляющий вектор), то, исполь- зуя условия ортогональности и коллинеарности, можем напи -сать уравнения прямой следующим образом:

; следовательно, , или

(3)

; следовательно координаты этих векторов пропор- циональны и получаем:

. (4)

В частности, если на прямой заданы две точки и , то вектор являет- ся направляющим вектором прямой и её уравнение принимает вид:

(5)

Уравнение прямой по двум заданным точкам.

 

Пример 1 Написать уравнение прямой, проходящей через точку а) перпендикулярно вектору ; б) парал – лельно вектору , если ; с) написать уравнение прямой, проходящей через точки и .

. Тогда в случае а) и, по формуле (3), уравнение имеет вид: или ; в случае б) получим уравнение: , по формуле (4), или ; в случае с), по формуле (5), получаем уравнение: , или , . Таким образом получаем:

 

Если в равенстве (3) откроем скобки, то получим общее уравнение прямой на плоскости:

(6)

является нормальным вектором данной прямой.

Если известны длины отрезков, которые прямая отсекает на осях координат,

 

то уравнение этой прямой можно записать следующим об -разом:

(7)

§ 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА

ПЛОСКОСТИ

 

Пусть заданы уравнения двух прямых на плоскости:

 

 

 

Тогда

.

Следовательно, угол между прямыми (учитывая смысл угловых коэффициентов прямых) определяется по формуле:

(1)

Если прямые параллельны, т.е. , то и ; если прямые перпендикулярны, , то не существу- ет, то , или (это условие перпендику-

лярности прямых).

 

Пример 1. Даны две противоположные вершины квадрата:

. Найти уравнения сторон квадрата.

 

 

 

 

Зная координаты точек и можем найти координаты точки , как координаты середины отрезка, (т.е. полусумма координат концов отрезка): . Кроме того можем напи- сать уравнение прямой , как уравнение прямой проходя- щей через две заданные точки (формула (5) § 1):

Тогда Угол между прямыми и равен . Следовательно, по формуле (1),

.

Отсюда, Зная координаты точки и угловой коэффициент (по формуле (2) § 1

), можем написать уравнение прямой:

Прямые и параллельны; тогда . Прямая (при использовании координат точки имеет уравнение:

; учитывая условие перпендикулярности прямых,

. Используя то же уравнение, получим:

И наконец и тогда:

 

Пример 2. Пусть даны координаты одной вершины треу -гольника и уравнения высоты и медианы , проведённых из разных вершин. Найти уравнения сторон треугольника.

 

 

, . Тогда и сторона имеет уравнение:

Пусть . Точка - середина отрезка . Тогда . Точка и её координаты удовлетворяют уравнению: , т.е. Точка и её координаты удовлетворяют уравнению данной прямой: Получаем систему:

Решение этой системы: , т.е.

Решая систему, получаем Уравнения прямых и можем написать, использовав уравнение прямой, проходя- щей через две заданные точки:

 

В случае, если прямые на плоскости заданы общими уравнениями, т.е.

то угол между ними равен углу между их нормальными векто- рами , т.е.

Если Это условие парал- лельности прямых.

Если Это ус -ловие перпендикулярности прямых.

 

 

§ 3. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.

 

Можно усмотреть аналогию между понятиями прямой на плоскости и плоскостью в пространстве. Основой этой анало- гии является известный факт, что через заданную точку плос- кости можно провести единственную прямую, перпендикулярно заданному вектору, а через заданную точку пространства мож- но провести единственную плоскость, перпендикулярную задан- ному вектору. Следует заметить также, что размерность пря – мой равна 1, размерность плоскости - 2, размерность прост -ранства - 3, т.е. прямая в плоскости и плоскость в пространс- тве имеют одинаковую коразмерность. Линейное пространство размерности на единицу меньшей, чем размерность пространс- тва, частью которого оно является, называется гиперплоскос -тью. В соответствии с этим определением, прямая - это ги -перплоскость на плоскости, а плоскость - это гиперплоскость в пространстве.

Пусть плоскость проходит через точку фиксированную точку пространства перпендикулярно вектору Пусть - произвольная (текущая) точка данной плоскости.

 

 

Тогда уравнение плоскости получаем, используя условие ортогональности (перпендикулярности) вектора и вектора , т.е. Таким образом,

(1)

Если в данном равенстве раскроем скобки, то получим общееуравнение плоскости:

(2)

где

Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , где .

В данном случае Фиксированная точка - это точка и уравнение плоскости принимает вид:

или

Таким образом, чтобы написать уравнение плоскости необ – ходимо знать какую– нибудь точку на плоскости и вектор, пер- пендикулярный плоскости.

Часто встречается следующая задача: написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть заданы три фиксированные точки плоскости: , а - текущая точка плоскости. Тогда векторы и компланарны.

 

Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю:

, или

(3)

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле (аналогичной формуле расстояния от точки до прямой на плоскости):

(4)

 

Пример 2. Дана треугольная пирамида с вершинами

.

Написать уравнение плоскости и найти высоту, опущен- ную на эту плоскость из точки

По формуле (3) уравнение плоскости имеет вид:

тогда

Получаем: т.е. плоскость имеет уравнение: Высоту пира -миды, опущенную из точки можно найти как расстояние от этой точки до плоскости , по формуле (4).

Используя условие компланарности векторов, можно анало -гичным образом написать уравнение плоскости, проходящей че- рез фиксированную точку пространства парал -лельно двум заданным векторам:

, .

В этом случае: векторы компланарны и их смешанное произведение равно нулю: т.е.

(5)

Пример 3. Написать уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно плоскостям:

 

 

 

 

.

 

 

 

, тогда, по формуле (5), уравнение плос -кости имеет вид: Получаем: , или, окончательно, получаем уравнение плоскости