За даними таблиці 3.4 визначити відносні величини структури, порівняння та координації. 3 страница

Середня частка студентів, прийнятих на денне відділення в базовому навчальному році, становила 61,2%.

Даних про загальну чисельність прийнятих студентів у поточному році немає, але цей показник можна визначити, поділивши чисельність студентів, зарахованих на денне відділення, на частку їх у загальній кількості прийнятих. Виходячи з цього, для обчислення середньої частки студентів денного відділення треба використати формулу середньої гармонійної зваженої, тобто

= , або 65,9 %.

Завдання 6.18

Необхідно:

– за даними таблиці 6.15 визначити модальний та медіанний вік чоловіків-одинаків за даними перепису населення України.

Дані для виконання:

Таблиця 6.15. Дані про групування чоловіків-одинаків за віком

Вік х, років	до 20	20–29	30–39	40–49	50–59	60–69	70 і старше	Разом
Частка вікової групи w, %	4,9	20,1	15,5	15,2	17,0	13,0	14,3	100,0

Розв’язок. Модальний вік розраховують за формулою

,

де X_Mo – нижня межа; h_Mo – ширина модального інтервалу;

f_Mo, f_Mo-1, f_Mo+1 – відповідна частота (частка) модального, попереднього і наступного інтервалів відносно модального. Модальний віковий інтервал становить від 20 до 29 років, оскільки йому відповідає найбільша частота (f_Mo = 20,1):

,

тобто найбільш поширеним віком серед чоловіків-одинаків є вік близько 27 років.

Медіанний вік визначають за формулою

,

де X _Me, h _Me – відповідно нижня межа і ширина медіального інтервалу;

S _Me-1 – сума накопичених частот (часток) в інтервалі, що передує медіанному; f _Me – частота (частка) медіанного інтервалу.

Порядковий номер центральної варіанти відповідає частці 50. У графі накопичених частот ця варіанта знаходиться в групі 40 – 49 років. Отже,

.

Половина чоловіків-одинаків перебуває у віці до 45,6 років, а інша – старші 45,6 років.

Завдання 6.19

Необхідно:

– визначити розмах варіації і коефіцієнт осциляції; середнє лінійне відхилення і лінійний коефіцієнт варіації.

Дані для виконання:

Вік робітників однієї бригади будівельників становить 28, 30, 31, 46, 47, 48, 50 років.

Розв’язок. Розмах варіації – це різниця між максимальним і мінімальним значенням ознаки, тобто

R = x _max – x _min = 50 – 28 = 22.

Відношення розмаху варіації до середньої величини ознаки називають коефіцієнтом осциляції, який обчислюють за формулою

.

Оскільки дані незгруповані, середню величину обчислюють за формулою середньої арифметичної простої

,

тоді

.

Середнє лінійне відхилення – це середній модуль відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини

d =

Лінійний коефіцієнт варіації визначають за формулою

,

що свідчить про незначну варіацію робітників бригади будівельників щодо їх віку.

Завдання 6.20

Необхідно:

– за даними розподілу вантажних автомобілів одного підприємства за строком експлуатації (таблиця 6.16) обчислити: дисперсію строку експлуатації вантажних автомобілів; середнє квадратичне відхилення і квадратичний коефіцієнт варіації; дисперсію частки вантажних автомобілів зі строком експлуатації менше як 8 років.

Дані для виконання:

Таблиця 6.16. Розрахункова таблиця для обчислення показників варіації

Строк перебування вантажних автомобілів в експлуатації, років	Кількість автомо-білів	Середина інтервалу, х	xf	_ x – x	_ (x – x)2	_ (x – x)2f	x2	x2 f
До 4				-7
4 – 6				-4
6 – 8				-2
8 – 10
10 –12
12 –14
14 і більше
Разом		-		-	-		-

Розв’язок. Дисперсія – це середній квадрат відхилень від середньої:

s .

В рядах розподілу середню обчислюють за формулою середньої арифметичної зваженої

;

s .

Дисперсію можна визначити також за формулою різниці квадратів

s ,

де – середній квадрат значень варіант.

Необхідні для обчислення дані наведені в таблиці.

Отже,

s

Середнє квадратичне відхилення – це корінь квадратний з дисперсії

s = √s = .

Відношення середнього квадратичного відхилення до середньої називають квадратичним коефіцієнтом варіації. Його обчислюють за формулою

U = (s / ) 100% = ,

що свідчить про однорідність сукупності автомобілів щодо строку перебування їх в експлуатації.

Частка автомобілів, у яких строк перебування в експлуатації менш як 8 років становить

v = .

Дисперсію частки як альтернативної ознаки визначають за формулою

s p (1 – p), тобто s 0,43 (1 – 0,43) = 0,245.

 

Завдання 7.1

Необхідно:

– дати повну і змістовну відповідь на наступні питання.

Дані для виконання:

1. Види зв’язків між соціально-економічними явищами. Завдання і прийоми вивчення зв’язків

2. Знаходження рівнянь регресії

3. Вимірювання щільності зв’язку

4. Непараметричні методи вивчення зв’язків

Завдання 7.2

Необхідно:

– визначити, яка з наведених нижче корельованих пар ознак є факторною, а яка – результативною:

Дані для виконання:

1. Потужність електростанції, виробництво електроенергії.

2. Споживчі ціни, купівельна спроможність грошової одиниці.

3. Безробіття, рівень злочинності.

4. Продуктивність праці робітника-верстатника, вік виробничого обладнання.

5. Торгова площа магазинів, товарооборот.

6. Оборот біржі, кількість брокерських місць.

7. Фізичний знос обладнання, коефіцієнт змінності роботи підприємства.

Завдання 7.3

Необхідно:

– визначити, які з наведених залежностей соціально-економічних явищ є функціональними, а які – кореляційними:

Дані для виконання:

1. витрати сімей на продукти харчування – від числа членів сім’ї;

2. загальний капітал акціонерної компанії – від кількості випущених компанією акцій та їх ринкової ціни;

3. тривалість життя населення регіону – від стану екологічного середовища;

4. собівартість продукції – від обсягу виробництва і виробничих витрат;

5. введення в дію житла – від капітальних вкладень у житлове будівництво;

6. плата за кредит – від розміру позики і процента за користування кредитом;

7. попит на товари народного споживання – від наявності їх на ринку і цін.

Завдання 7.4

Необхідно:

– за даними таблиці 7.1 обчислити: 1) міжгрупову дисперсію продуктивності верстатів; 2) за допомогою кореляційного відношення оцінити тісноту зв’язку між виробітком деталей за зміну і строком служби верстатів; 3) використовуючи F- критерій, перевірити істотність зв’язку з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Загальна дисперсія продуктивності верстатів за зміну становить 292.

Таблиця 7.1. Дані про групування верстатів за строком служби

Строк служби верстатів, років	Кількість верстатів	Виробіток деталей за зміну в розрахунку на 1 верстат, шт.
До 7
7 – 14
14 – 20
20 і більше
Разом

Завдання 7.5

Необхідно:

– за даними табл. 7.2: 1) обчислити міжгрупову, середню з групових та загальну дисперсії виробітку одного автомобіля, показати їх взаємозв’язок; 2) для оцінки тісноти зв’язку між виробітком автомобіля та його технічною швидкістю використати кореляційне відношення, пояснити його економічний зміст; 3) за допомогою F-критерію перевірити істотність зв’язку. Зробити висновки з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Таблиця 7.2. Залежність виробітку вантажного автомобіля від технічної швидкості

Середня технічна швидкість автомобіля, км/год.	Кількість автотранспортних підприємств	Середній виробіток на 1 машино-год, т-км	Дисперсія середнього виробітку
До 30
30 – 40
40 – 50
50 і більше
Разом			-

Завдання 7.6

Необхідно:

– 1) визначити функцію, яка відображає залежність якості сировини від дальності перевезень; 2) обчислити параметри регресійного рівняння. Пояснити їхній економічний зміст; 3) за допомогою коефіцієнта детермінації оцінити тісноту зв’язку між названими показниками; 4) перевірити істотність зв’язку, користуючись F -критерієм, з імовірністю 0,95. Зробити висновки.

Дані для виконання:

Консервний комбінат здійснює заготівлю сировини в радіусі до 200 км (таблиця 7.3).

Таблиця 7.3 Залежність якості заготовленої сировини від відстань перевезення

Радіус перевезення, км	Частка нестандартної сировини, %	Радіус перевезення, км	Частка нестандартної сировини, %

Завдання 7.7

Необхідно:

– за даними таблиці 7.4 оцінити тісноту зв’язку між наведеними за допомогою коефіцієнту асоціації; перевірити його істотність з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Таблиця 7.4. Дані про стосунки 280 молодих сімей з батьками

Молоді сім’ї, що проживають	Число молодих сімей, яким
допомагають батьки	не допомагають батьки	Разом
З батьками
Окремо
Разом

Завдання 7.8

Необхідно:

– за даними таблиці 7.5 проаналізувати комбінаційний розподіл робітників та оцінити тісноту зв’язку між професійною мобільністю і задоволеністю працею за допомогою коефіцієнта співзалежності Чупрова; перевірити істотність зв’язку, використовуючи критерій . Висновки зробити з імовірністю 0,95.

 

Дані для виконання:

Таблиця 7.5. Дані соціологічного опитування молодих робітників

Чи задоволені професією	Чи маєте намір змінити професію	Разом
так, найближчим часом	так, в перспективі	ні
Задоволений	-
Ставлюсь байдуже
Незадоволений			-
Разом

Завдання 7.9

Необхідно:

– за даними таблиці 7.6 оцінити тісноту зв’язку між технічним і організаційним рівнями виробництва за допомогою коефіцієнта рангової кореляції; перевірити істотність зв’язків з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Таблиця 7.6. Дані експертних бальних оцінок технічного і організаційного рівня виробництва груп промислових підприємств

Номер підприємства	Рівень
технічний	організаційний

Розв’язок типових завдань

Завдання 7.10

Необхідно:

– використовуючи дані таблиці 7.7 про споживання м’яса та м’ясопродуктів у сім’ях робітників і службовців залежно від рівня середньодушового сукупного доходу, за допомогою кореляційного відношення оцінити тісноту зв’язку між названими показниками. Відомо, що загальна дисперсія споживання м’яса і м’ясопродуктів становить 12,9. Перевірити істотність зв’язку між цими ознаками з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Таблиця 7.7. Дані про споживання м’яса та м’ясопродуктів у сім’ях робітників і службовців залежно від рівня середньодушового сукупного доходу

Рівень середньодушового сукупного доходу	Кількість сімей, % до підсумку	Споживання м’яса і м’ясопродуктів на члена сім’ї за рік, кг
Низький
Середній
Високий
Разом

 

Розв’язок. Результативною ознакою y є споживання м’яса і м’ясопродуктів, а факторною x – рівень середньодушового сукупного доходу. Для оцінки тісноти зв’язку між цими ознаками використовують відношення , де – міжгрупова і загальна дисперсія.

Міжгрупову дисперсію обчислюють за формулою

Розрахунок міжгрупової дисперсії подано в таблиці 7.8.

Таблиця 7.8. Розрахунок міжгрупової дисперсії

Номер груп за факторною ознакою	f I	_ y i	_ _ y i – y	_ _ 2 (y i – y) f I
			-18
			-2
Разом			-

 

Міжгрупова дисперсія становить , а загальна = 12,9, кореляційне відношення –

Це означає, що 75% варіації споживання м’яса і м’ясопродуктів залежить від рівня середньодушового сукупного доходу, 25% припадає на долю інших ознак.

Істотність зв’язку перевіримо за допомогою F-критерію

.

Число ступенів вільності можна визначити так:

k 1 = m – 1 = 3 – 1 = 2,

k 2 = n – m = 100 – 3 = 97,

де m – число груп за факторною ознакою; n – кількість елементів сукупності;

Фактичне значення F-критерію більше від критичного F0,95(2; 97) = 3,11, тобто зв’язок між рівнем середньодушового сукупного доходу і споживанням м’яса та м’ясопродуктів з імовірністю 0,95 визнається істотним.

Завдання 7.11

Необхідно:

– за даними таблиці 7.9 обчислити параметри лінійного рівняння регресії, надати їм економічну інтерпретацію;

– за допомогою коефіцієнта детермінації визначити тісноту зв’язку між урожайністю кукурудзи та строком її збирання.

– перевірити істотність зв’язку між зазначеними ознаками з імовірністю 0,95.

 

Дані для виконання:

Таблиця 7.9. Залежність урожайності кукурудзи від строку збирання урожаю обстежено 10 господарств, які належать до однієї природно-кліматичної зони

Номер господарства	Строк збирання урожаю, днів	Урожайність кукурудзи, ц/га

 

Розв’язок. Результативною ознакою y є урожайність кукурудзи, а факторною x – строк збирання урожаю.

Для оцінки параметрів лінійного рівняння регресії складають систему нормальних рівнянь, що має вигляд

Розрахункові суми для складання систем нормальних рівнянь наведено в таблиці 7.10. Отже,

Таблиця 7.10. Розрахунок сум для складання систем нормальних рівнянь

№ з/п	x	y	xy	x	y	Y	_ 2 (Y – y)
А
						32,60	43,56
						40,64	2,07
						50,69	132,02
						46,67	55,80
						36,62	6,66
						26,57	159,52
						38,63	0,33
						18,53	427,25
						54,71	240,56
						46,67	55,80
Разом						-	1123,57

 

392 = 10 b 0 + 237 b 1;

8731 = 237 b 0 + 5895 b 1.

Після розв’язку цієї системи будь-яким способом одержимо

Y = 86,87 – 2,01 x.

При збільшенні строку збирання урожаю кукурудзи на один день її урожайність знижується в середньому на 2,01 ц/га.

На підставі рівняння регресії обчислюють теоретичні значення Y для всіх елементів сукупності. Наприклад, для першого господарства Y 1 = 86,87 – 2,01х27 = 32,6 ц/га.

Теоретичні значення Y використовують для обчислення коефіцієнту детермінації

,

де – факторна, – загальна дисперсія.

Отже,

Таким чином, 85,3% варіації урожайності кукурудзи лінійно пов’язані зі строком збирання урожаю.

Перевірку істотності зв’язку здійснюють за допомогою F-критерію, або для ступенів вільнoсті:

k 1 = m – 1 = 2 – 1 = 1;

k 2 = n – m = 10 – 2 = 8,

де m – число параметрів рівняння регресії для лінійного рівняння (m = 2), а n – кількість елементів сукупності (n = 10).

Критичне значення для імовірності 0,95 згідно з додатком становить (1,8) = 0,399. Фактичне значення = 0,853 перевищує критичне, що свідчить про істотність зв’язку.

Завдання 7.12

Необхідно:

– за результатами соціологічного опитування робітників-верстатників (таблиця 7.11) обчислити коефіцієнт асоціації, перевірити істотність зв’язку з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Таблиця7.11. Дані соціологічного опитування робітників-верстатників

Чи задоволені ви темпами кваліфікаційного зростання	Чи маєте намір оволодіти суміжною професією	Разом
так	ні
Так
Ні
Разом

Розв’язок. Коефіцієнт асоціації обчислюють за формулою

,

де – частоти відповідних комбінацій ознак. За розрахунком коефіцієнт асоціації становить +0,46, що свідчить про наявність прямого зв’язку між темпами кваліфікаційного зростання і набуттям суміжних професій,

.

Перевірку істотності зв’язку здійснюють за допомогою критерію c , статистична характеристика якого функціонально пов’язана з коефіцієнтом асоціації,

c = nA .

Критичне значення c для рівня істотності a = 0,05 і числа ступенів вільності K = 1 становить c 0,95 (1) = 3,84 (див. додаток).

Фактичне значення c = 100 х 0,46 = 21,2 більше від критичного. Отже, зв’язок між темпами кваліфікаційного зростання і набуттям суміжних професій істотний.

Завдання 7.13

Необхідно:

– за даними таблиці 7.12 обчислити коефіцієнт співзалежності; з імовірністю 0,95 перевірити істотність зв’язку між ознаками.

Дані для виконання:

Таблиця7.12. Дані комбінаційного розподілу подружніх пар за віком, років

Вік дружини	Вік чоловіка	Разом
15 – 29	30 – 44	45 і більше
15 – 29
30 – 44
45 і більше	-
Разом

Розв’язок. Оскільки число груп за обома ознаками однакове, використовуємо формулу коефіцієнта співзалежності Чупрова