Группа 3. Аксиомы конгруэнтности

Группы аксиом 1–3 позволяют доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами, определить понятие движения в геометрии и установить признаки конгруэнтности геометрических фигур. Первая аксиома этой группы содержит два требования, а четвертая– три.

13. Пусть даны отрезок АВ а также прямая а ^/ и точка . точка с заданной стороны относительно точки такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку (обозначим это ), требуется также, чтобы .

14.

15. Пусть АВ и ВС – отрезки на прямой , АВ ВС = В, тогда
и лежит между и .

16. Пусть Ð есть угол с вершиной О. Для любой точки и любого выходящего из нее луча можно построить в заданной плоскости, инцидентной , по любую сторону от один и только один, второй луч такой, что Ð .

Требуется также, чтобы Ð (угол конгруэнтен самому себе) и Ð

17. Пусть даны два треугольника АВС и таких, что , , тогда .

На основании аксиом конгруэнтности вводятся понятия прямого угла, смежных и вертикальных конгруэнтных углов, операции сравнения углов и отрезков. Отрезок АВ больше отрезка СD, обозначается АВ > СD, если при совмещении точек А и С и откладывании точек В и D по одну сторону от точки А на некоторой прямой, точка D будет лежать между
А и С.

В этой группе аксиом доказываются три признака конгруэнтности треугольников, свойства равнобедренных и равносторонних треугольников и т.д. Справедлива также теорема о внешнем угле треугольника в слабом варианте (известная еще Евклиду).

Теорема (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника.

Аксиомы 13–17 позволяют ввести операцию движения в геометрии.

Определение движения

Взаимно однозначное соответствие точек плоскости называется движением, если соответствующим парам точек , соответствуют конгруэнтные отрезки

Замечание 1

В этой группе вместо аксиом 13–17 можно аксиоматически задать движение и некоторые его свойства. Тогда аксиомы 13–17 будут являться теоремами, которые доказываются на основании аксиом движения.

Вывод 1

Аксиомы 1–17 первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом. В этой геометрии есть конгруэнтные и правильные фигуры, определено понятие движения, совмещающего конгруэнтные фигуры и т. д.

Но в этой геометрии еще нет понятия параллельного переноса, не определено соответствие между действительными числами и точками прямой. Отсутствуют понятия длины отрезка, площади и объема геометрических фигур. Следовательно, в этой геометрии еще нет понятия расстояния и понятий близости и непрерывности, связанных со свойствами расстояния между точками. Хотя абстрактные понятия близости и непрерывности уже можно вести на языке шаровых окрестностей.

Действительно, шаром В (O, OА) с центром в точке О и радиусом ОА назовем все точки М такие, что ОМ < ОА. Далее, шар В (О,ОА ₁) Ì B (О,ОА ₂), если ОА ₁< ОА ₂, таким образом, множество окрестностей точки О есть множество всех шаров В (О, ОР_к), k Î N, где Р_к – любая точка пространства. Определим последовательность точек М_к Î В (О,ОР_к), k Î N условиями а) и b):

а) ОР ₁> ОР ₂>…> ОР_к >…, что означает последовательность вложенных шаров В (О,ОР ₁)É В (О,ОР ₂)É…É В (О,ОР_к) É…;

b) М_к Ï В_{к +1} " к Î N, что означает выбор каждой последующей точки в следующем вложенном шаре.

Вывод 2

Используя лишь аксиомы I–III групп, мы не сможем установить существование предела у последовательности М _1, М _{2, …,} М_к, …, а в случае существования мы не сможем доказать его единственность.