Перевірка стаціонарності часового ряду

Стаціонарні часові ряди передбачають, що процес породження наявних даних є лінійним. Вони не мають тренду або періодичної зміни середнього та дисперсії.

Перевірку гіпотез стосовно сталості середнього значення та дисперсії часового ряду можна здійснити кількома способами. Найпростішими з них є перевірка значущої відмінності двох середніх значень для деяких підмножин вибірки (наприклад, для першої та останньої третин усього обсягу даних) за — критерієм (критерій перевірки гіпотези про рівність середніх двох нормально розподілених вибірок) і для дисперсії, якщо справедливе припущення про нормальний розподіл, можна використати F-критерій. Розглянемо два поширені методи: метод перевірки різниць середніх рівнів і метод Форстера-Стьюарта.

Метод перевірки різниць середніх рівнів.

Реалізація цього методу передбачає такі чотири кроки.

Крок перший. Вхідний часовий ряд розподіляють на дві приблизно однакові за кількістю спостережень частини: в першій частині п ₁ першої половини рівнів вхідного ряду, у другій — решта рівнів п ₂ ().

Крок другий. Для кожної з цих частин розраховують середні значення й дисперсії: ; ; ; .

Крок третій. Перевірка рівності (однорідності) дисперсій обох частин ряду за допомогою F- критерію, що порівнює розрахункове значення цього критерію:

(1.3.1)

із табличним (критичним) значенням критерію Фішера F _α із заданим рівнем значущості α. Якщо розрахункове значення F менше за табличне F _α, то гіпотезу про рівність дисперсій приймають, і можна переходити до четвертого кроку. Якщо F більше або дорівнює F _α, гіпотезу про рівність дисперсій відхиляють і доходять висновку, що цей метод не дає відповіді щодо наявності тренду.

На четвертому кроці перевіряють гіпотезу про відсутність тренду за допомогою t -критерію Стьюдента.Для цього визначають розрахункове значення критерію Стьюдента за формулою:

, (1.3.2)

де — оцінка середньоквадратичного відхилення різниць середніх:

Якщо розрахункове значення t менше за табличне t _α, то нульову гіпотезу не відхиляють, тобто тренд відсутній, інакше — тренд є. Зазначимо, що в цьому разі табличне значення t _αприймають для числа ступенів вільності, яке дорівнює , до того ж цей метод застосовують суто для рядів із монотонною тенденцією. Недолік методу полягає у неможливості правильно визначити існування тренду в тому разі, коли часовий ряд містить точку зміни тенденції у середині ряду.

Метод Форстера-Стьюарта.

Цей метод має більші можливості та дає надійніші результати, ніж попередній. Окрім тренду самого ряду (тренду в середньому), він дає змогу встановити існування тренду дисперсії часового ряду: якщо тренду дисперсії
немає, то розкид рівнів ряду постійний; якщо дисперсія збільшується, то ряд «розхитується». Реалізація методу передбачає чотири кроки.

Крок перший. Порівнюють кожен рівень вхідного часового ряду, починаючи з другого рівня, з усіма попередніми, при цьому визначають дві числові послідовності:

(1.3.3)

(1.3.4)

t = 2, 3, …, n.

Крок другий. Розраховують величини с і d:

; (1.3.5)

. (1.3.6)

Величина c, яка характеризує зміну рівнів часового ряду, набуває значення від 0 (усі рівні ряду однакові) до п – 1 (ряд монотонний). Величина d характеризує зміну дисперсії часового ряду та змінюється від [–(п – 1)] — ряд поступово згасає, до (п – 1) — ряд поступово розхитується.

Крок т ретій Перевіряється гіпотеза стосовно того, чи можна вважати випадковими: 1) відхилення величини c від математичного сподівання ряду, в якому рівні розташовані випадково, 2) відхилення величини d від нуля. Цю перевірку здійснюють на підставі обчислення t -відношення відповідно для середньої та для дисперсії:

; ; (1.3.7)

; , (1.3.8)

де — оцінка математичного сподівання ряду; ₁ — оцінка середньоквадратичного відхилення для величини c; — оцінка середньоквадратичного відхилення для величини d.

Таблиця 1.3.2

п
	3,858	5,195	5,990	6,557
₁	1,288	1,677	1,882	2,019
₂	1,964	2,279	2,447	2,561

Фрагмент розрахованих значень величин , ₁ і ₂для різних п наведено в табл. 1.3.2 [25].

Крок четвертий. Розрахункові значення t_с i t_d порівнюють із табличним значенням t -критерію із заданим рівнем значущості t_α. Якщо розрахункове значення t менше за табличне t _α, то гіпотезу про відсутність відповідного тренду приймають, в іншому разі тренд існує. Наприклад, якщо t_с більше табличного значення t _α, a t_d менше t _α, то для заданого часового ряду існує тренд у середньому, а тренду дисперсії рівнів ряду немає.

Приклад 1.1.

Застосуємо метод перевірки різниць середніх рівнів для двох часових рядів: доходів консолідованого бюджету (млн. грн.) і доходів консолідованого бюджету (% ВВП). Для цього початкові часові ряди поділяють на дві однакові частини: перша охоплює 1999—2000 роки, друга — 2001—2002 роки. Кількість кварталів-спостережень в обох частинах однакова: п ₁ = п ₂ = 8. Результати розрахунків наведено в табл. 1.3.1. На рівні значущості , тобто з імовірністю 0,95, із числом ступенів вільності * k ₁= п ₁ – 1 = 8 – 1 = 7 і k ₂= п ₂ –1 = 8 – 1 = 7 табличне значення критерію Фішера дорівнює = 3,8 (вибірка за табл. А або табл. Д.2.1 [2, с. 134-135])

Таблиця 1.1

Доходи	Роки	Середнє значення	Дисперсія	F		t
Млн грн	1999—2000 2001—2002	9860,2 13695,8	8349206 4459451	1,87	2733,44	2,8
% до ВВП	1999—2000 2001—2002	26,0 24,5	6,41 1,92	3,34	2,2	1,37

Для обох часових рядів F розрахункові менші за табличне значення , тобто приймається гіпотеза про рівність дисперсій.

На рівні значущості із числом ступенів свободи п ₁+ п ₂ – 2 = 16 – 2 = 14 табличне значення t -розподілу дорівнює = 2,145 (вибірка за табл. Д.2.2 [2, с. 136-137].

Для часового ряду доходів, виражених у млн. грн., t -розрахункове перевищує табличне значення , тобто нульова гіпотеза не приймається, тренд існує.

Для часового ряду доходів, виражених у відсотках до ВВП, t -розрахункове менше за табличне значення , тобто приймається гіпотеза про відсутність тренду. 8

________________________

*Примітка:

Число сту́пенів вільності ( або ступенів свободи) — кількість незалежних змінних, які однозначно описують стан системи.

Приклад 1.2.

Застосування методу Форстера-Стьюарта для двох часових рядів: доходів консолідованого бюджету (млн грн) та доходів консолідованого бюджету (% до ВВП) дає розрахунки, наведені в табл. 1.3.3.

Таблиця 1.3.3

Доходи	∑k_t	∑l_t	c	d	t_с	t_d
Млн. грн.					3,28	4,07
% до ВВП					0,9	1,53

На рівні значущості , тобто з імовірністю 0,95 та з числом ступенів волі п – 2 = 16 – 2 = 14 табличне значення критерія Стьюдента дорівнює = 2,145.

Для часового ряду доходів, виражених у млн грн, розрахункові значення t_с і t_d перевищують табличне значення , тобто нульова гіпотеза не приймається, існує тренд як середнього, так і дисперсії ряду.

Для часового ряду доходів, виражених у відсотках до ВВП, розрахункові значення t_с і t_d менші за табличне значення , тобто приймається гіпотеза про відсутність тренду в тенденції й дисперсії ряду. 8

вибірка за табл. A або табл. Д..1 [2, с. 136-137]

= 3,79 або = 3,8 = (3,87+3,73)/2

Значения критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости

	k₁
_k2
	161.45	199.50	215.71	224.58	230.16	233.99	236.77	238.88	240.54	241.88	245.95
	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.35	19.37	19.38	19.40	19.43
	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.89	8.85	8.81	8.79	8.70
	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96	5.86
	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.77	4.74	4.62
	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06	3.94
	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.64	3.51
	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.35	3.22
	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.14	3.01
	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.98	2.85
	4.84	3.98	3.59	3.36	3.20	3.09	3.01	2.95	2.90	2.85	2.72
	4.75	3.89	3.49	3.26	3.11	3.00	2.91	2.85	2.80	2.75	2.62
	4.67	3.81	3.41	3.18	3.03	2.92	2.83	2.77	2.71	2.67	2.53
	4.60	3.74	3.34	3.11	2.96	2.85	2.76	2.70	2.65	2.60	2.46
	4.54	3.68	3.29	3.06	2.90	2.79	2.71	2.64	2.59	2.54	2.40
	4.49	3.63	3.24	3.01	2.85	2.74	2.66	2.59	2.54	2.49	2.35
	4.45	3.59	3.20	2.96	2.81	2.70	2.61	2.55	2.49	2.45	2.31
	4.41	3.55	3.16	2.93	2.77	2.66	2.58	2.51	2.46	2.41	2.27
	4.38	3.52	3.13	2.90	2.74	2.63	2.54	2.48	2.42	2.38	2.23
	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.51	2.45	2.39	2.35	2.20

Таблиця Д.2.1

[2, с. 134-135]

ТАБЛИЦЯ ЗНАЧЕНЬ F -КРИТЕРІЮ ФІШЕРА
ПРИ РІВНІ ЗНАЧУЩОСТІ α = 0,05

k ₁ k ₂										∞
	161,45	199,50	215,72	224,57	230,17	233,97	238,89	243,91	249,04	254,32
	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,41	19,45	19,50
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,84	3,67
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,23	3,07	2,90	2,71
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	2,95	2,79	2,61	2,40
	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,77	2,60	2,42	2,21
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2,48	2,29	2,07
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,55	2,38	2,19	1,96
	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2,34	2,15	1,92
	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,48	2,31	2,11	1,88
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,42	2,25	2,05	1,81
	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,40	2,23	2,03	1,78
	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,38	2,20	2,00	1,76

Закінчення табл. Д.2.1

k ₁ k ₂										∞
	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,34	2,16	1,96	1,71
	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1,69
	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,30	2,13	1,93	1,67
	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,29	2,12	1,91	1,65
	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,28	2,10	1,90	1,64
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62
	4,12	3,26	2,87	2,64	2,48	2,37	2,22	2,04	1,83	1,57
	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,18	2,00	1,79	1,51
	4,06	3,21	2,81	2,58	2,42	2,31	2,15	1,97	1,76	1,48
	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,13	1,95	1,74	1,44
	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,10	1,92	1,70	1,39
	3,98	3,13	2,74	2,50	2,35	2,23	2,07	1,89	1,67	1,35
	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33	2,21	2,06	1,88	1,65	1,31
	3 91	3,10	2,71	2,47	2,32	2,20	2,04	1,86	1,64	1,28
	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,03	1,85	1,63	1,26
	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,01	1,83	1,60	1,21
	3,90	3,06	2,66	2,43	2,27	2,16	2,00	1,82	1,59	1,18
	3,89	3,04	2,65	2,42	2,26	2,14	1,98	1,80	1,57	1,14
	3,87	3,03	2,64	2,41	2,25	2,13	1,97	1,79	1,55	1,10
	3,86	3,02	2,63	2,40	2,24	2,12	1,96	1,78	1,54	1,07
	3,86	3,01	2,62	2,39	2,23	2,11	1,96	1,77	1,54	1,06
	3,85	3,00	2,61	2,38	2,22	2,10	1,95	1,76	1,53	1,03
∞	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	1,94	1,75	1,52	1,00

Таблиця Д.2.2

[2, с. 136-137]

КРИТИЧНІ ЗНАЧЕННЯ t -КРИТЕРІЮ СТЬЮДЕНТА
ПРИ РІВНІ ЗНАЧУЩОСТІ 0,10, 0,05, 0,01 (двосторонній)

Число ступенів свободи d.f.	α	Число ступенів свободи d.f.	α
0,10	0,05	0,01	0,10	0,05	0,01
	6,3138	12,706	63,657		1,7341	2,1009	2,8784
	2,9200	4,3027	9,9248		1,7291	2,0930	2,8609
	2,3534	3,1825	5,8409		1,7247	2,0860	2,8453
	2,1318	2,7764	4,6041		1,7207	2,0796	2,8314
	2,0150	2,5706	4,0321		1,7171	2,0739	2,8188
	1,9432	2,4469	3,7074		1,7139	2,0687	2,8073
	1,8946	2,3646	3,4995		1,7109	2,0639	2,7969
	1,8595	2,3060	3,3554		1,7081	2,0595	2,7874
	1,8331	2,2622	3,2498		1,7056	2,0555	2,7787
	1,8125	2,2281	3,1693		1,7033	2,0518	2,7707
	1,7959	2,2010	3,1058		1,7011	2,0484	2,7633
	1,7823	2,1788	3,0545		1,6991	2,0452	2,7564
	1,7709	2,1604	3,0123		1,6973	2,0423	2,7500
	1,7613	2,1448	2,9768		1,6839	2,0211	2,7045
	1,7530	2,1315	2,9467		1,6707	2,0003	2,6603
	1,7459	2,1199	2,9208		1,6577	1,9799	2,6174
	1,7396	2,1098	2,8982	∞	1,6449	1,9600	2,5758