Многомерные отношения преобладаний

Как это уже неоднократно имело место в наших рассуждениях, все приведенные соотношения в реальности теряют смысл из-за того, что мы имеем дело лишь со статистическими закономерностями. Что значат выражения типа: "при фиксации значения третьей переменной связь между первыми двумя исчезла"? Ведь и при наличии связи отклонение от пропорциональности столбцов носит лишь относительный характер, и при отсутствии связи у нас все же, как правило, пропорциональность не "чистая". Чтобы справиться с неопределенностью, можно использовать отношения преобладаний, введенные нами в п. 2.3.4. Однако требуется их обобщить на многомерный случай. Сделаем это.

Вообще говоря, отношения преобладаний могут быть определены для таблиц любой размерности, в том числе и для одномерных, т.е. для линейных частотных распределений (правда, мы предполагаем, что имеем дело с дихотомическими признаками). Чтобы ввести строгое определение отношения преобладаний, введем новые обозначения.

Сначала предположим, что в нашем распоряжении имеется лишь один признак. Тогда будем обозначать через Р₁ долю объектов, обладающих первым его значением, а через Р₂ – вторым. Соответствующее отношение преобладания первого порядка, выражаемое формулой

,

естественно, будет обозначать, во сколько раз объем первого множества больше (меньше) второго. Если отношение преобладания больше 1, говорим о положительном преобладании, если меньше – об отрицательном.

Теперь будем считать, что у нас два дихотомических признака. Через Р₁₁ обозначим долю объектов с первым значением первого признака и первым значением второго, через Р₁₂ – с первым значением первого и вторым значением второго и т.д. Двумерная частотная таблица приобретет вид:

Легко видеть, что отношение преобладания второго порядка (определенное нами в п.2.3.4 и названное там просто отношением преобладания) конструируется следующим образом.

Фиксируем первое значение второго признака и рассчитываем для соответствующей частотной таблицы отношение преобладания первого порядка:

То же делаем при фиксации второго значения второго признака:

Отношением преобладания второго порядка называется отношение первой дроби ко второй.

.

Надеемся, смысл его очевиден: мы проверяем, в какой мере столбцы таблицы сопряженности являются пропорциональными. Если l₂ равно единице, то двумерной связи нет. Если больше единицы, то говорят о положительной связи (и чем больше отличие от 1, тем больше эта связь). Если l₂ меньше 1, то говорят об отрицательной связи.

Итак, l₂ – это отношение двух l₁ для первого признака – вычисленных отдельно для каждого из двух значений второго признака. Та же логика продолжается дальше. Вводим третий признак с двумя значениями. Фиксируем его первое значение и вычисляем l₂ по первым двум признакам (формула та же, что выше выражала l₂, но ко всем обозначениям частот добавляется третий индекс, равный 1; это означает, что все величины отвечают первому значению третьего признака):

Аналогичную величину вычисляем, фиксируя второе значение третьего признака:

Находим отношение последних двух величин. Это и будет отношение преобладания третьего порядка:

Если отношения преобладания второго порядка, вычисленные для каждого из двух значений третьего признака, были примерно одинаковыми, то l₃ будет примерно равно 1. Это означает отсутствие трехмерной связи. Если l₃ больше 1, говорят о положительной трехмерной связи. Если l₃ меньше – об отрицательной трехмерной связи и т.д.

Отношения преобладаний играют огромную роль при анализе номинальных данных. Далее учет многомерности фактически встречающихся в социальной реальности связей становится одной из наших главных задач

2.4. Связь типа "альтернатива-альтернатива"