Обтекание тел идеальной и вязкой жидкостью. Парадокс Деламбера. Лобовое сопротивление. Сила лобового сопротивления при больших и малых числах Рейнолдса

 

Взаимодействие тела с потоком идеальной жидкости. Еще Ньютоном была сформулирована получившая название ударной теория, базирующаяся на представлении воздуха в виде отдельных не связанных друг с другом материальны частиц. Согласно этой теории сила давления воздушного потока на площадку S, наклоненную под углом a (углом атаки) к направ лению потока, равна: F=rSv²sin²a. Эта формула легко получается, если подсчитать импульс неупругих ударов составляющих ее материальных частиц. Опытная проверка этой формулы показала, что она неверно описывает зависимость силы F от угла атаки. И только при скоростях потока, значительно больших скорости звука, формула Ньютона оказывается справедливой. Модель воздуха как совокупности дискретных частиц является неверной. Реальные же силы могут быть подсчитаны на основе гидродинамического подхода, учитывающего обтекание тела движущимся потоком континуальной среды. Пусть в движущемся со скоростью v₀ потоке помещены диск и шар одинакового радиуса r (рис. 4.19). В центре диска точке K, называемой критической, поток останавливается (v = 0), и давление, согласно уравнению Бернули, равно: p_k=p₀+(rv₀²/2). Из-за поворота трубок тока на 90⁰ давление в других точках на поверхности диска будет таким же, как и в точке К. Поэтому, если позади диска давление равно p₀, то поток действует на диск с силой F_||=(p_k–p₀)pr²=rv₀²S/2. Гидродинамическая сила F, которая может трактоваться как сила лобового сопротивления при движении диска со скоростью v0 в потоке, вдвое меньше силы, вычисляемой на основе ударной теории ((1) при sin a=1). Если теперь в поток поместить шар, то по ударной теории на него будет действовать та же сила, что и на диск. При гидродинамическом подходе эта сила будет отсутствовать вовсе. Действительно, при симметричном потоке относительно сечения О₁ О₂ давления в произвольной точке М и симметричной точке M' будут одинаковы, поскольку одинаковы скорости потока в этих точках. Равенство нулю результирующей силы при плавном (безотрывном) обтекании идеальной жидкостью шара, цилиндра и другие. называется парадоксом Даламбера. Давление в любой точке потока вблизи поверхности шара можно рассчитать, пользуясь уравнением Бернулли: p_k=p₀+(rv₀²/2)–(rv²/2). На рис. 4.20 изображено распределение избыточных сил давления s_p=p–p₀, действующих по нормали к поверхности шара. Отсутствие сил в точках А и Aґ есть результат равенства скоростей в этих точках исходной скорости потока. При больших числах Рейнолдса сила лобового сопротивления обусловлена разностью давлений, а при малых – вязкостью.

Тело в потоке вязкой жидкости. Лобовое сопротивление. Поток реальной жидкости или газа действует с некоторой силой на тело, помещенное в этот поток. Для осесимметричного тела с осью симметрии, направленной вдоль потока, эта сила также будет направлена вдоль потока. Она получила название силы лобового сопротивления. Основные физические причины возникновения лобового сопротивления можно установить наиболее просто, если рассмотреть обтекание потоком шара радиуса r. На рис. 4.21. изображена зависимость силы лобового сопротивления от числа Рейнольдса. При малых скоростях течения, когда Re<10² F_||~v, т. к. на шар действуют силы вязкости, возникающие вследствие существования тонкого пограничного слоя вблизи поверхности шара (d@r/(Re)^1/2). При таких скоростях происходит ламинарное (слоистое) течение жидкости. Вне этого слоя реаль ная жидкость течет так же, как и идеальная, обтекая шар симметрично. Наоборот, при числах Re ~ 1 говорить о пограничном слое некорректно, т.к. градиенты скорости существенны в области, размеры которой значительно больше радиуса шара. При малых числах Рейнольдса сила лобового сопротивления для шара подчиняется закону Стокса: F_||=6pmrv. При Re>10², симметрия обтекания нарушается — позади шара происходит отрыв линий тока (рис. 4.22). При таких скоростях пограничный слой становится очень тонким, а поперечные градиенты скорости в нем — большими. Силы вязкости, которые при этом возрастают, тормозят движение частиц среды, движущихся вдоль поверхности шара, настолько, что они не в состоянии полностью обогнуть шар. Хотя течение в тонком пограничном слое остается ламинарным, позади шара образуются вихри. Симметрия давлений в точках А и A’ нарушается. F_||=C_X Srv²/2, где C_X — коэффициент лобового сопротивления для тела данной формы. Область квадратичной зависимости силы F от скорости v простирается вплоть до чисел Рейнольдса Re~10⁵. При больших скоростях пограничный слой постепенно турбулизуется, и при Re=3 10⁵ он полностью турбулентен. Для ламинарного и турбулентного обтекания тел можно использовать единую формулу для расчета силы лобового сопротивления: F_||=C_X(Re)Srv²/2, в которой коэффициент лобового сопротивления должен

зависеть от скорости так, как это изображено на рис. 4.23.