Пример17.1

Для множества указать точную верхнюю и точную нижнюю грани.

(Ответ: ; ).

 

Теорема17.1.

Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

 

Доказательство

Пусть X – непустое множество, ограниченное сверху. Тогда существует множество Y чисел, ограничивающих множество Х сверху.

Из определения следует: .

Причем, , тогда т.к. - с- верхняя грань,

наименьшая из верхних граней, следовательно .

Случай существования точной нижней грани рассматривается аналогично.

 

Предел числовой последовательности

 

Пусть каждому по некоторому закону поставлено в соответствие действительное число x_n. Тогда говорят, что определена последовательность чисел x₁,x₂,…,x_n или {x_n}.

Число x_n –элемент последовательности.