Ограниченные и неограниченные множества

Пусть X – числовое множество.

Определение 17.1.

А). Множество X ограниченно снизу тогда и только тогда, когда

.

В). Множество X ограниченно сверху тогда и только тогда, когда .

С). Множество X ограниченно тогда и только тогда, когда X ограниченно сверху и снизу:

т.е. .

Очевидно, что любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних граней).

Естественно возникает вопрос о существовании наименьшей из верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних граней ограниченного снизу множества.

Определение 17.2.

А). Число M называется точной верхней гранью, если оно является наименьшим из всех верхних граней.

Б). Число m называется точной нижней гранью, если оно является наибольшим из всех нижних граней.