. -, . . - m.
tg2x = (1/cos2x) - 1, ctg2x = (1/sin2x) - 1
1/cosx = secx, 1/sinx = cosecx
tg2x = sec2x - 1, ctg2x = cosec2x - 1
.
m- , . tg x = t., x = arctg t.
dx = dt/ (1+t2) . . .
∫ sin mx * cos nx dx, ∫ cos mx * cos nx dx, ∫ sin mx * sin nx dx/
. . . :
sin mx * cos nx = ½ (sin (m+n) + sin (m-n))
cos mx * cos nx = ½ (cos (m+n) +cos (m-n))
sin mx * sin nx = ½ (cos (m-n) cos (m+n))
. .
. .
∫R (x, m√ax+b )
. ax+b = tm.
∫ ((Mx+N)dx)/((x-α) √ax2+bx+c)
x - α = 1/t
dx = -1/t2 dt
.
∫R (x, √a2-x2) dx, ∫R (x, √a2+x2) dx
. . , . .
: x = a sint (x = a cost)
: x = a tgt
Ö . . , .
, . . -, .. . - :
∫(sinx/x) dx -
∫(cosx/x) dx -
∫-x^2 dx -
∫(lnx/x) dx .
y = f(x) [a;b].
.
: Q -?
. [a;b] . . X0 = , 1,2xn = b.
Δxi=(i=1,2,,n), Δx1=x1-xo, Δx2=x2-x1 Δxi=xi-xi-1
- DXi f(ξi)
ΔSi = Δxi * f(ξi), i=1,2,,n - .
:
|
|
∑∆Si ≈ 0 = ∑ f(ξi) * ∆Si
, n (. ), .. , - . [;b].
[a,b] , x. , , - n¥ (DXi0).
. .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = ∫ f(x)dx
.
. . , .-, -, . -.
|
|
1. ∫ α * f(x)dx = α * ∫ f(x)dx
|
|
|
|
2. ∫ [ f1(x) f2(x) fn(x) ] dx = ∫ f1(x)dx ∫ f2(x)dx ∫ fn(x)dx
|
|
3. [a,b], (a≤b) φ(x) ≥ f(x), ∫ φ(x)dx ≥ ∫ f(x)dx
|
m(b-a) £ ∫ f(x)dx £ M(b-a)
5. . f(x) , . =, :
|
∫ f(x)dx = f(c) - (b-a)
- - - . "".
6. 3- a,b,c -
|
|
| ||||||
∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx
7. .
|
|
│∫ f(x)dx│ ≤ ∫│f(x)│dx
|
|
|
: ∫ f(x)dx = 0, ∫ f(x)dx = - ∫ f(x)dx
1.
. . . -:
|
∫ f(t)dt = Φ'(x), '(x) = f(x)