Необходимые сведения. Предел последовательности

ЗАНЯТИЕ № 1

 

Предел последовательности.

Необходимые сведения.

1.Понятие предела числовой последовательности. Число называют пределом последовательности , если для каждого существует такое натуральное , что для любого верно неравенство:

или короче: : : .

Обозначают: . Говорят: последовательность сходится к .

Последовательность, сходящуюся к нулю, называют бесконечно малой.

 

2.Последоваетельность называют расходящейся, если никакое конечное число не является её пределом

или короче: : : .

 

3. Свойства последовательностей

· Если последовательность имеет предел, то она ограниченна.

· Если последовательность неограниченна, то она расходится.

· Если последовательность бесконечно малая, а последовательность ограниченная, то последовательность бесконечно малая.

· Вспомните арифметические свойства пределов (предел суммы и т.п.)

 

4.Для того чтобы число было пределом последовательности необходимо и достаточно, чтобы для всех выполнялось , где - бесконечно малая последовательность.

 

5.Если и , и для всех , начиная с некоторого, , то . (Правило двух милиционеров)

 

6.Последовательность называется бесконечно большой, если для каждого существует такое натуральное , что для любого верно неравенство: .

Обозначают: . Говорят: последовательность имеет бесконечный предел.

Всякая бесконечная последовательность является неограниченной и расходящейся.

 

7. Теорема Вейерштрасса. Ограниченная и монотонная (начиная с некоторого номера) последовательность имеет конечный предел.

Важный пример такой последовательности: