Пределы числовых последовательностей

 

Определение. Окрестность точки a (ε-окрестность)называется интервал U_ε (a) = (a −ε, a + ε).

Определение. Пределом числовой последовательности (a _n) называется такое число a, удовлетворяющее условию:

lim_n→∞ a _n = a ⇔∀ε > 0 ∃N ∀n ≥ N | a _n − a | < ε.

То есть для доказательства, что число a является пределом последовательность (a _n) необходимо указать функцию N(ε), возвращающую натуральное число N, для которого справедливо, что для ∀n ≥ N | a _n − a | < ε при заданном ε.

Пример. Для последовательности, n-ный член которой a _n =n/(2n+1) N(ε) = .

 

Свойства пределов числовых последовательностей

Теорема 3. Пусть ∃lim_n→∞ a _n = a ⇒∃M₁, M₂∀nM₁£ a _n£M₂.

Доказательство.∀ε > 0 ∃N(ε)∀n ≥ N

− ε< a _n– a <ε или a − ε< a _n< a + ε.

Пусть M₁ = min(min(a ₁,..., a _N−1), a –ε); M₂ = max(max(a ₁,..., a _N−1), a + ε). Тогда∀nM₁£ a _n£M₂.

 

Теорема 4. Если существует a, такое что lim_n→∞ a _n= a, то такое a единственно.

Доказательство. Докажемотпротивного. Пусть

Тогда

∀ε > 0 ∃N₁∀n ≥ N₁ | a _n − a | < ε/2

∀ε > 0 ∃N₂∀n ≥ N₂ | a _n − b | < ε/2.

Пусть M = max(N₁, N₂). Тогда | a _n− a |+ | a _n− b | <ε, | a _n − a | + | a _n − b | ≥ | a − b |, | a − b | <ε. Противоречие с тем, что ε произвольно.

 

Теоремы о сумме, произведении и частном пределов

Пусть: ∃lim_n→∞ a _n = a, ∃lim_n→∞ b _n = b. Тогда:

∀ε> 0 ∃N₁∀n ≥ N₁ | a _n − a | <ε

∀ε> 0 ∃N₂∀n ≥ N₂ | b _n − b | <ε

a _n = a + α_n

b _n = b + β_n