Расширенный минимаксный критерий

Рассмотрим в заключение еще один метод, допускающий интерпретацию в качестве расширенного минимаксного крите­рия. В нем используются понятия теории вероятностей, а также теории игр. В технических приложениях этот критерий до сего времени применяется мало.

Основным здесь является предположение о том, что каждому из n возможных состояний F_j приписана вероятность его появления q_j: .

Сформируем из n вероятностей q_j вектор q = (q ₁, …, q_n) и обозначим через W ⁽ⁿ⁾ множество всех n-мерных вероятностных векторов. Выбор какого-либо варианта решения E_i приводит при достаточно долгом применении E_i к среднему результату . Если же теперь случайным образом с распределением вероятностей p =(p ₁,…, p_m)Î W ^(m) смешать m вариантов решений E_i, то в результате получим среднее значение

.

В реальной ситуации вектор q =(q ₁, …, q_n), относящийся к состояниям F_j, бывает, как правило, неизвестен. Ориентируясь применительно к значению e (p, q) на наименее выгодное распределение q состояний F_j и добиваясь, с другой стороны, максимального увеличения e (p, q) за счет выбора наиболее удачного распределения p вариантов решения E_i, получают в результате значение, соответствующее расширенному ММ-критерию.

Обозначим теперь E (p) обобщенный вариант решения, определяемый с помощью выбора вероятностного вектора , а через – множество всех таких критериев.

E(p ₀) = { E (p ₀)| E (p ₀)Î Ù e (p ₀, q ₀) = },

где p – вероятностный вектор для E_i, а q – вероятностный вектор для F_j.

Таким образом, расширенный ММ-критерийзадается целью найти наивыгоднейшее распределение вероятностей на множестве вариантов E_i, когда в многократно воспроизводящейся ситуации ничего не известно о вероятностях состояний F_j. Поэтому предполагается, что F_j распределены наименее выгодным образом.