Необходимые и достаточные признаки

монотонности ф-ции:

Если x₂>x₁, f(x₂)>f(x₁), то ф-ция монотонно

возрастает

Если x₂>x₁, f(x₂)<f(x₁), то ф-ция монотонно

убывает

Монотонность - постоянство

Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x)

всюду в интервале возрастает, то ее

производная в этом интервале

неотрицательна (f`(x)>=0)

2)если ф-ция f(x) всюду в интервале

убывает, то ее производная в этом

интервале неположительная (f`(x)<=0)

3)если ф-ция f(x) всюду в интервале

постоянна, то ее производная в этом

интервале =0 (f`(x)=0)

Достаточные признаки монотонности:

1)если f`(x) в интервале положительна,

то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в

этом интервале.

3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.

x₁<a<x₂, x₂-x₁>0, x₂>x₁

1. если f`(a)>0, то f(x₂)>f(x₁)

2. если f`(a)<0, то f(x₂)<f(x₁)

3. если f`(a)=0, то f(x₂)=f(x₁)

 

Экстремумы ф-ций.

Признаки существования экстремума.

Наибольшее и наименьшее значение ф-ции

Й переменной.

Точка х называется точкой max ф-ции,

если значение ф-ции в этой точке - наименьшее

в некоторой ее окрестности.

1- локальный max

2- локальный min

3- глобальный max

4- глобальный min

если tga>0, то f`(x)>0

если tga<0, то f`(x)<0

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x)

может иметь max и min только в тех точках,

в которых f`(x)=0 или не существует.

(В них можно построить ¥ касательн).

Достаточный признак: точка х₀ является точкой

экстремума, если ее производная в этой точке

меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х₀- т. max

- если с “-” на “+”, то х₀- т. min

Предел и непрерывность ф-ции нескольких