Линейно-квадратичная модель оценки риска

Линейно-квадратичная модель использует следующий вид связи между дозой токсиканта и откликом на нее:

q_e = aD + bD ². (5.10)

Eсли имеются две пары значений, полученных в результате предварительных (экспериментальных) исследованиях, то нетрудно найти коэффициенты a и b. Пусть значению D ₁ соответствует частость q_e, ₁, а величине D ₂ — частость q_e, ₂, тогда эти коэффициенты вычисляются по формулам:

b = (q_e, ₁/ D ₁ - q_e, ₂/ D ₂)/(D ₁- D ₂),

a = (q_e, ₁- b D ₁²)/ D ₁ или a = (q_e, ₂- b D ₂²)/ D ₂. (5.11)

Величина дозы, соответствующая значению частости риска q_e, находится из квадратного уравнения, следующего из выражения (5.10):

bD ² + aD – q_e = 0,

D = (- a ± )/2 b. (5.12)

Пример 5.5. В процессе выявления профессионального риска, связанного с воздействием некоторого токсиканта, фиксировались случаи патологических изменений в двух группах персонала, испытавших раз-ные дозовые нагрузки. Первая группа риска насчитывала 100 человек, каждый из которых получил дозу токсиканта, равную 0,1 мг. В этой группе было отмечено 11 случаев патологии, в то время как число ожидавшихся случаев этой патологии предполагалось равным 9. Во второй группе риска было 80 человек, каждый из них получил дозу, равную 0,5 мг. Число патологических нарушений, зафиксированных в этой группе, составило 18 против 10 ожидавшихся. Требуется определить коэффициенты зависимости (5.5) и найти дозу, при которой частость дополнительного риска равна 0,1.

В данной задаче N_t _,1 = 100, D ₁ = 0,1 мг, N_t _,2 = 80, D ₂ = 0,5 мг, E_t _,1 = 11, E_с _,1 = 9, E_t _,2 = 18, E_с _,2 = 10. Условия задачи позволяют вычислить частости дополнительного риска для каждой из исследованных групп:

q_e _,1 =(q_t _,1- q_c _,1)/(1- q_c _,1)=[(E_t _,1/ N_t _,1)-(E_с _,1 / N_t _,1)]/(1- E_с _,1/ N_t _,1) =

= [(11/100)-(9/100)]/(1-9/100) = 0,022,

q_e _,2=(q_t _,2- q_c _,2)/(1- q_c _,2)=[(E_t _,2/ N_t _,2)-(E_с _,2/ N_t _,2)]/(1- E_с _,2/ N_t _,2) =

= [(18/80)-(10/80)]/(1-10/80) = 0,114.

Коэффициенты b и a определяются с помощью выражений (5.11):

b = [0,022/0,1 -0,114)/0,5]/(0,1 - 0,5) = 0,02,

a = (0,022 - 0,02×0,01)/0,1 = 0,22.

Следовательно, линейно-квадратичная модель зависимости частости риска от дозы в данном случае имеет вид:

q_e = 0,22 D + 0,02 D ².

Значение дозы, соответствующее заданной частости риска q_e = 0,1, вычисляется по (5.12):

D = [–0,22 ± ] / (2·104),

D ₁= 0,42 мг, D ₂ = –11,5 мг.

Квадратное уравнение дает два решения, второе из них надлежит отбросить, поскольку доза не может быть отрицательной. Таким образом, искомое значение дозы D = 0,42 мг.

Линейно-квадратичная модель зависимости частоcти риска от дозы значительно меняется при малых и больших значениях D. При малых дозах снижается вклад квадратичного слагаемого (если a > 0 и b > 0), и уравнение (5.10) может быть представлено в линейной форме:

q_e = a D.

При больших дозах уравнение (5.10) приводит к завышенным результатам, это можно скорректировать введением экспоненциального сомножителя:

q_e = (aD + bD ²) . (5.13)

Полученная зависимость называется линейно-квадратично-экспоненциальной (модель ЛКЭ). Коэффициенты с и d, как и коэффициенты a и b, находятся из экспериментальных исследований. Для этого приходится решать систему из четырех уравнений, что требует применения компьютера.

Модель ЛКЭ используется, например, в радиобиологических исследованиях для описания зависимости между дозой ионизирующего излучения и вызванными ею последствиями (гибель клеток, хромосомные аберрации, появление злокачественных новообразований и т.д.). При малых дозах радиации справедлива линейная модель, с увеличением дозы становится существенным вклад квадратичного члена, а при еще больших значениях дозы количество наблюдаемых негативных эффектов снижается. Это объясняется тем, что при таких дозах многие клетки погибают и, следовательно, не участвуют в продуцировании фиксируемых последствий. Экспоненциальный сомножитель отражает количество клеток, еще оставшихся живыми после получения данной дозы излучения. Сначала начинает сказываться линейная часть экспоненциального спада, а затем и квадратичная.