Определение критической силы сжатого стержня

 

Для упругого стержня, сжатого силой F (рис.13.1,а), составим уравнение изогнутой оси в безразличном состоянии, то есть при условии F = F_кр. При достижении силой F критического значения F_кр ось стержня искривляется и поперечные сечения стержня получают некоторые перемещения ν(x) в направлении осы y (рис.13.1,б), если изгибная жесткость сечения стержня относительно этой оси будет иметь большее значения от изгибной жесткости относительно перпендикулярной к ней оси z и наоборот, в направлении оси z (рис.13.1,в), если изгибная жесткость сечения стержня относительно этой оси будет иметь большее значения от изгибной жесткости относительно оси y,. Таким образом, искривление оси стержня всегда происходит в перпендикулярном направлении к оси поперечного сечения, относительно которой изгибная жесткость имеет минимальное значение EI _min.

Перемещение ν(x) рассматриваем как очень малое по сравнению с длиной стержня. При этом напряжения, которые возникают в поперечных сечениях стержня, не превосходят предела пропорциональности, то есть σ < σ_пц. В этих условиях мы имеем возможность использовать приближенное уравнение изогнутой оси деформированного стержня, то есть уравнение, полученное при рассмотрении поперечного изгиба балки:

                                                                                          (13.4)

где , тогда:

                                 ,                                                         (13.5)

       

или                                                         ,                                                               (13.6)

 

 где                                                                                                                                          (13.7)

 

Решением дифференциального уравнения (13.6) является известная гармоническая функция:  

    

                                                                                                (13.8)

 

       Постоянные интегрирования А и B определяются из граничных условий закрепления стержня. При x = 0 имеем ν(0)= 0. Тогда из уравнения (13.8) находим А = 0. При этом уравнение прогибов упрощается и принимает вид:                            

                                                                                                                    (13.9)

        При x = l, прогиб стержня также равняется нулю: ν(l) = 0, или

 

                                          

 

Последнее равенство возможно в двух случаях: 1) если В = 0 и 2) если .

В первом случае отсутствуют прогибы стержня, то есть этот случай не отвечает условию поставленной задачи.

Во втором случае находим . Возведем это равенство в квадрат  и заменим  его значением согласно зависимости (13.7). При этом, принимаем n = 1 (потому, что критическая сила имеет наименьшее значение из всех возможных), тогда получим формулу для определения критической силы стержня, который опирается на две шарнирные опоры:

 

                         , откуда                                           (13.10)    

 

       Формула (13.10) впервые получена Эйлером и имеет название формулы Эйлера. Эта формула может быть обобщена и распространена на все случаи закрепления стержня путем замены действительной длины стержня   l  приведенной длиной μ l. Где μ  носит название коэффициента приведения длины стержня. Тогда обобщенная формула Эйлера будет иметь вид:

                                                                                                               (13.11)

 

       Величина коэффициента приведения длины зависит от условий закрепления стержня. Возможные четыре случая закрепления стержня, для которых нужно знать (без доказательства) значения коэффициента μ:

1) Стержень закреплен по концам с помощью двух шарнирных опор (рис.13.1), тогда μ = 1.

2) Стержень закреплен на одном конце жесткой опорой (защемлением), тогда

  μ = 2.

3) Стержень закреплен на одном конце жесткой опорой (защемлением), а на другом конце шарнирной опорой, тогда μ = 0,7.

4) Стержень закреплен на каждом конце жесткими опорами, тогда μ = 0,5.

Следует иметь в виду, что условия закрепления стержня в двух главных плоскостях инерции поперечного сечения стержня могут быть одинаковыми, а могут быть разными. В первом случае расчет на устойчивость осуществляется в плоскости минимальной изгибной жесткости, а во втором случае расчет выполняется в каждой из главных плоскостей.