Лекция № 9 «Предельные законы

системы РТО полетов авиации»

 

1. Взаимосвязь основных эксплуатационных свойств систем

 

При разработке теории систем в соответствии с требованиями системного анализа необходимо различать три группы свойств системы:

1) свойства, характеризующие взаимодействие системы с внешней средой («входы, «выходы»);

2) свойства, характеризующие внутреннее строение системы («структура»);

3) общесистемные, интегральные свойства системы («поведение»).

Свойства первой группы характеризуют все виды взаимодействия системы с внешней средой. Для математического описания здесь в первую очередь представляет интерес целевой контур.

Например, для атомной электростанции (АС) целевым контуром является процесс производства ядерной установкой энергии: тепловой, электрической (выходной эффект, получаемый от АС). Это производства энергии должно быть определенного качества и безопасное в радиационном отношении к обслуживающему персоналу, населению и окружающей среде. Причем процесс производства энергии на АС должен быть устойчивым. «Входы»: затраты времени и материальных ресурсов, природно-климатические воздействия, отказы оборудования и персонала, плановые и неплановые ремонты, неблагоприятные факторы и т.п. «Выходы»: производственная и потерянная энергия, воздействие на персонал, население, природу, т.е. влияние на внешнюю среду. Первая группа свойств АС определяет состав и уровни эксплуатационных воздействий, их изменчивость и изученность. На выбор средств защиты АС влияют как абсолютные значения воздействий, так и их соотношения с несущей способностью оборудования.

Вторая группа свойств характеризует внутреннее строение системы, ее структуру, т.е. то, что определяет логику функционирования системы, позволяет формально описать, смоделировать функционирование АС и на этой основе изучить и прогнозировать как интегральные свойства, так и значения конкретных технологических и режимных параметров оборудования системы в целом в заданные моменты времени. Свойства второй группы определяют сложность системы, технологичность и надежность элементов оборудования, запасы прочности, избыточность, контроле– и ремонтопригодность оборудования системы.

Третью группу свойств составляют интегральные свойства систем: эффективность, самоорганизация, безопасность, устойчивость, управляемость, надежность, живучесть (рисунок 1). Интегральные свойства сложных систем в общем случае не являются простой суммой свойств, входящих в систему элементов. Первое интегральное свойство системы – это полезность (А – качество): выходной (конечный эффект, способность системы решать поставленную задачу, А – качество является исходным свойством эффективности (Е – качества) как оценки степени приспособленности системы к выполнению поставленных перед нею задач: в примере АС – это задача тепловой и электрической энергии требуемого количества и качества. Расход ресурсов на достижение заданного количества и качества. Расход ресурсов на достижение заданного количества вырабатываемой АС энергии при обеспечении требуемого уровня безопасности возрастает из-за несовершенства конструкции и (или) несовершенства стратегии эксплуатации. Поэтому необходимо рассматривать специальные свойства систем, характеризующие ее поведение. Наиболее сложным из них является самоорганизация (В – качество). Самоорганизующая система имеет целый ряд специфических свойств, таких, как способность к распознаванию ситуаций, адаптация, самозащищенность и др.

                                                          

 

                                                                                                                   

 

 

Под управляемостью (С – качество) понимается способность системы подчиняться управляющим воздействиям. Управляемость обеспечивается прежде всего наличием обратной связи. Управляемость характеризуется также гибкостью управления, его оперативностью, точностью, способностью выработки решений, на основе которых формируется управляющее воздействие. Устойчивость (Р – качество) и является одним из первичных качеств любой системы. Устойчивость может объединять различные свойства: прочность, защищенность, стабильность, надежность, живучесть и т.д. Иногда выделяют помехоустойчивость или информационную устойчивость (I – качество) как самостоятельную группу свойств.

Надежность (R – качество) является изначальным свойством любой системы. Если нет устойчивого образования связанных между собой элементов (качество надежности), то не имеет смысла рассматривать какие-либо другие качества системы, ибо каждое последующее качество имеет смысл при наличии предыдущих. Поэтому в настоящее время надежность систем часто считают «нулевым» уровнем безопасности.

Таким образом, при технико-экономическом обосновании проектных решений необходимо тщательным образом производить системный анализ составляющих сложного свойства качества систем. Методологически исследование безопасности систем необходимо проводить с позиций изучения AECRS – качества, т.е. в тесной связи со свойствами эффективности, управляемости, надежности и живучести.

 

2. Идеальная система

По мере возрастания сложности систем у них возникают новые качества, сохраняющиеся для более сложных систем. Эти качества систем оцениваются рядом характеристик, основными из которых являются надежность, помехоустойчивость, управляемость, самоорганизация. Поэтому целесообразно проанализировать закономерности систем, связанные с их надежностью (R – закон), помехоустойчивостью (I – закон), управляемостью (С – закон) и самоорганизацией (L – закон). Указанная последовательность рассмотрения отдельных качеств системы не случайна, ибо каждое последующее качество имеет смысл при наличии предыдущих. Действительно, если нет устойчивого образования из связанных между собой элементов (качество надежности), то не имеет смысла рассматривать какие-либо другие качества системы. Далее, очевидно, что без наличия помехоустойчивости, связанной с правильной ориентацией системы в среде (правильная информированность о ней), любые действия системы (управляемость) неэффектны. И, наконец, такое качество, как самоорганизация, является просто накоплением опыта использования всех перечисленных качеств во времени, его переработки и коррекции.

С ростом сложности технических систем их надежность падает. Это связано с несовершенством их организации. На определенном уровне сложности технических систем возникает качественно новый вид их структурной устойчивости (надежности). По мере возрастания сложности биологических систем надежность их возрастает. Это указывает на аналогичную возможность и для технических систем.

Пусть система S _R определяется набором N ее элементов S _R =(S ₁, S ₂... S_N), n =  и структурой их соединения (взаимодейcтвия). Каждый элемент системы с точки зрения нормальности функционирования может находиться в различных состояниях, промежуточных между состояниями нормального функционирования и полного выхода из строя. Рассмотрим два крайних случая: нормальное функционирование (жизнь) и выход из строя (смерть). Выход из строя (смерть) будем называть отказом. Для простоты будем считать, что переход элемента из первого состояния вo второе происходит мгновенно, а обратные переходы невозможны. Отказ одного или нескольких элементов не влечет за собой отказ системы. В системе имеются жизненно важные и менее важные элементы. Кроме того, в системе, как правило, имеется резервирование. Так, например, отказ одной из двух точек не выводит из строя весь организм.

В общем случае естественно считать систему живой в данный момент времени, если жива хотя бы некоторая заранее заданная минимальная часть ее элементов. В противном случае будем считать ее мертвой (отказ системы) или потенциально мертвой, так как оставшиеся в живых элементы не обеспечивают долговременной жизни системы и последняя постепенно погибает.

Рассмотрим множество Z вcex 2 ^N возможных состояний z =(z ₁, z ₂,... z_n), l =  системы S_R, характеризующих состояния жизни и смерти ее элементов. z_l =1, если S_l в состоянии z ₁ ^l. Событие z ₁ ^l будем считать "благоприятным" и связывать с жизнью элемента S _n × z_l =0, если S _n в состоянии z ₁ ⁰. Событие z ₀ ^l – смерть элемента s _n, событие "неблагоприятное". Вероятности событий z ₁ ⁰ и z ₀ ^l равны p _n и q _n = 1- р _n cвoe соответственно. Разобьем множество z на две части z ₁   и z ₀ = z / z ₁. Первое будем называть множеством системы S _R, а второе - множеством смерти. По определению будем считать, что система S_R жива в данный момент, если z Î Z ₁ и мертва, если z Î Z ₀. Тогда вероятность Р жизни системы S _R в данный момент времени в соответствии с моделью последовательности независимых испытаний имеет вид:

                                                                      (1)

а вероятность отказа системы равна Q =1- P.

Рассмотрим крайние случаи соотношения (1). Пусть множество жизни z ₁ состоит из одного состояния z ₁ = z ₁ . Другими словами рассматривается случай, когда живы все ее элементы. Это случай последовательного соединения элементов в системе. В этом случае из (1) следует:

                                   .                 (2)

Пусть теперь множество отказов состоит из одного состояния z ₀ = z ₀ . Другими словами, рассматривается случай, когда система мертва тогда и только тогда, когда мертвы все ее элементы. Это случай параллельного соединения элементов в системе. В этом случае из (1) следует:

                                                           (3)

Из соотношений (2) и (3) видно, что с ростом числа элементов системы   S _R вероятность Р жизни системы уменьшается в первом случае и возрастает во втором.

Нас интересуют системы с большим числом N элементов. Поэтому естественно рассматривать асимптотический случай больших значений N. При рассмотрении крайних случаев множества жизни z₁ следует, что с ростом N вероятность Р может стремиться к нулю и единице. Очевидно, что этим свойством могут обладать и промежуточные множества жизни z₁. Поэтому системы S_R, определяемые своими фиксированными множествами жизни z ₁, при называют нежизнеспособными, а при  жизнеспособными.

В общем случае множества жизни z могут иметь самую произвольную структуру, по которой трудно судить о жизнеспособности данной системы. Но есть широкий класс систем, в которых структура множеств жизни позволяет судить о жизнеспособности таких систем. Рассмотрим, например, системы, состоящие из N элементов, множество жизни которых состоит из состояний, содержащих каждое более чем M живых элементов. Другими словами, в множество z ₁ входят все состояния z =(z ₁,..., z_N) системы, для которых . Соответственно множество смерти z₀ состоит иэ всех состояний, для каждого из которых .

Такого рода системы будем называть симметричными системами М -го порядка.

Для симметричных систем формула (1) имеет вид:

                                                                  (4)

Легко видеть, что формулы (2) и (3) являются частным случаем формулы (4) при M = N -1 и M =0 соответственно.

Далее будем рассматривать только жизнеспособные системы. Будем считать, что если система S _R погибла в какой-либо из моментов времени t, то ничто уже не может возродить ее в последующие моменты времени.

Нас интересует вероятность P_R (t) того, что система S _R доживет до некоторого момента t (включительно). Эту вероятность будем называть надежностью системы S_R. Для модели последовательных независимых испытаний надежность системы

                                     P_R (t)= .                                         (5)

 Из соотношения (5) видно, что с ростом времени t надежность системы не увеличивается. Если учитывать, что для жизнеспособных систем с ростом N (t) сомножители P (t) в выражении (5) стремится к единице, то очевидны возможности различных предельных значений P_R (t) с ростом t.

Для выяснения этого вопроса рассмотрим некоторую идеальнуюсистему S_R, обладающую следующими постулируемыми свойствами:

I. Свойство жизнеспособности. Система S_R жизнеспособна во все моменты времени. Однако, если ее постигла смерть в данный момент времени, то в последующие моменты времени ничто не может возродить ее к жизни.

2. Свойство неограниченного расширения. Если система S_R жива в данный момент времени, то в следующий момент времени она может пополниться любым числом элементов.

3. Физическая ограниченность времени реакции. O своем состоянии в данный момент система узнает лишь в следующий момент, отстоящий от данного на интервал, принятый за единицу.

4. Математические ограничения. Рассматривается симметричная система с независимыми исходами испытаний жизни и смерти в каждый данный момент.

 

3. Предельный закон надежности систем

 

Надежность P_R (t) идеальной симметричной системы с ростом t не может возрастать. Однако предел может иметь в зависимости от выбора N (t) различные значения. Имеет место следующий предельный закон надежности. Пусть в момент t идеальная симметричная система S_R сумеет число элементов N (t), коэффициент смерти системы q = M / N и среднюю вероятность жизни элемента . Тогда вид зависимости числа элементов от момента времени t определяют следующие оценки надежности Р _R (t) системы S_R:

                                      (6)

где а – произвольное положительное число; числа к и определяются соотношениями:

                                              (7)

                                           (8)

константа l заключена в пределах:

 

- ln [1- exp (` к N) + 0 ln (N)] £ l <- ln [1- exp (- к N)].

 

При t®¥ из предельного закона (6) имеем:

                                           (9)

Таким образом, задав достаточно большим значением величину 1-а^-1 сколь угодно близкой к единице и определив этим минимальный порядок роста числа элементов N (t) со временем , мы можем гарантировать значение надежности Р _R (t) системы S_R для значений t от 0 до - ¥, не меньше, чем 1- a^-1.  

Предельные соотношения (9) делают естественным разбиение совокупности u всевозможных идеальных систем S_R на два принципиально различных класса в зависимости от поведения их надежности Р _R (t) сростом t. К классу u_R ⁰ будем относить идеальные системы, у которых с ростом t надежность P_R (t) стремится к нулю. Согласно предельному закону рост числа элементов N(t) таких систем с ростом t не превосходит логарифмического роста  где коэффициент ` к зависит от вероятностей жизни их элементов. Такого рода системы называются смертными, а их класс u_R ⁰ - класс смертных систем.

К классу u_R ¹ относятся идеальные системы, у которых с ростом t надежность P_R (t), уменьшаясь, стремится и пределу Р _R (¥) > 0. Согласно предельному закону надежности с ростом t рост числа элементов N (t) таких систем не должен быть меньшим логарифмического роста , где коэффициент зависит от вероятностей жизни их элементов.

Согласно (9) системы на промежутке времени от t =1 до t = ¥ (выбор достаточно большого значения " a " обеспечивает величине P_R (¥) значение 1- a ^-1 сколь угодно близкое к единице не будут подвержены смерти. Такие системы называются бессмертными, а их класс u_R ¹ – классом бессмертных систем.

Предельный закон надежности не дает никаких указаний, касающихся конструктивного описания идеальной системы S _R..В нем ничего не говорится о том, как обеспечивается ее жизнеспособность, т.е. как она остается живой по выходе из строя части ее элементов (построение надежных систем из ненадежных элементов), успевает ли она выявить часть элементов, близких к отказовому состоянию (методы диагностики, прогноза и профилактической замены). Все эти вопросы остаются открытыми.

Таким образом, предельный закон надежности указывает лишь пределы надежности идеальной системы S _R. Как только дело касается построения такой системы, мы сразу же приходим к необходимости решения проблем, связанных с фундаментальными ограничениями таких качеств системы, как ее помехоустойчивость (информированность) и управляемость.

И последнее. В случае системы, состоящей из фиксированного числа элементов N = const, согласно (6) получаем известный в теории надежности экспоненциальный закон:

P_R (t) = exp (- L t),

где L имеет смысл интенсивности отказов системы, обратной среднему времени жизни системы.

Контрольные вопросы:

1. Расскажите об интегральных свойствах систем.

2. Дайте понятие идеальной системы.

3. Поясните сущность предельного закона надежности систем.