Структурные средние характеризуют особенности структуры исследуемой совокупности.

Квантили – значения признака, занимающие в упорядоченном ряду единиц совокупности определенное место. Квантили делят ряд на равные (по числу единиц) части: квартили – на четыре; квинтили – на пять; децили – на десять; перцентили – на сто частей.

Перцентиль – это значение признака в определенной позиции ранжированного ряда, мера относительной позиции варианта в ряду. Р -тый перцентиль – это значение признака, слева от которого лежит Р % вариантов ряда. Позиция Р -го перцентиля задается как (n+1)Р/100, где n -число вариантов ряда.

В статистике наиболее часто применяются квантили, которые делят ряд на четыре равные части – квартили (от латинского слова quarta - четверть).

Первый квартиль (25-й перцентиль) – это значение признака, слева от которого лежит 1/4 (или 25%) всех вариантов.

Второй квартиль – это 50-й перцентиль или медиана. Медиана – значение признака, относительно которого совокупность делится на две равные по числу вариантов части.[11]

Третий квартиль - это точка, слева от которой находится 3/4 или 75% вариантов ряда.

25-й перцентиль называют – нижним квартилем (Q ₁,), 50-й перцентиль (медиану) – средним квартилем (Q ₂), 75-й перцентиль – верхним квартилем (Q ₃).

В статистическом анализе также часто применяют квантили, которые делят совокупность на десять равных частей – децили. Их значения определяются соответственно как 10, 20,..., 90 перцентили.

Отдельно рассмотрим моду и медиану.

Медиана – значение изучаемого признака, приходящееся на середину упорядоченного (ранжированного) ряда.

Мода – значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой.

В таблице 4.1 представлены формулы для расчета моды и медианы для дискретного и интервального рядов.

Таблица 4.1

Формулы для расчета моды и медианы

Мода	Медиана
Дискретный ряд
Определяется как значение признака , наиболее часто повторяющееся, т.е. с наибольшей частотой.	Определяется: 1) при нечетном числе единиц совокупности: определяется как значение признака, расположенное посередине упорядоченного ряда (50-ый перцентиль, второй квартиль); 2) при четном числе единиц совокупности: определяется как среднее двух центральных значений.
Интервальный ряд
1. Определяем модальный интервал как интервал с наибольшей частотой. 2. Используем формулу: , (4.3)   где - нижняя граница модального интервала; - длина модального интервала;  - частота модального интервала;  - частота интервала, предшествующего модальному;  - частота интервала, следующего за модальным.	1. Находим ряд накопленных частот . 2. Определяем медианный интервал как тот, в котором накопленная численность единиц совокупности составляет более половины от их общего числа. 3. Используем формулу: ,      (4.4) где  - нижняя граница медианного интервала; - длина медианного интервала;  - частота медианного интервала;  - накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

 

В общем случае квантили интервального вариационного ряда определяются по формуле:

,                                        (4.5)

где х _{Qp ( min )} - нижняя граница интервала, в котором находится квантиль;

k - величина квантильного интервала (интервальная разность);

V_{Qp -1} - накопленная частота или частость интервала, предшествующего квантильному;

Р - доля признаков, находящихся левее квантиля (например, для верхнего квартиля -0,25, для медианы -0,5, для седьмого дециля - 0,7);

Σf_i - сумма всех частот;

f_Qp - частота квантильного интервала.

Показатели вариации

В социально-экономическом анализе важно знать не только среднее (или серединное) значение признака, но и насколько равномерно распределены эти значения относительно среднего значения, а также знать количественную меру степени этой неравномерности.

В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются – значит средняя хорошо представляет всю совокупность. В других случаях, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность.

Изучая силу и характер вариации в выделенной совокупности можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и качественном отношении, следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина.

Таким образом, измерение вариации, т.е. изменчивости признака у единиц совокупности, помогает познать сущность изучаемого явления.

Среди показателей, характеризующих вариацию признака, в экономическом анализе наибольшей популярностью пользуется дисперсия. Представляет собой средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины.

По несгруппированным данным дисперсия считается по формуле:

.                                                (4.6)

По сгруппированным данным формула дисперсии имеет вид:

.                                         (4.7)

Для ручного счета лучше пользоваться формулой дисперсии следующего вида:

.                                                     (4.8)

 

На практике желательно, чтобы показатель рассеяния выражался в тех же единицах измерения, что и значение признака. Дисперсия этим свойством не обладает, единицы измерения дисперсии соответствует квадрату единицы измерения рассматриваемого признака.

Извлекая квадратный корень из дисперсии, получаем показатель, имеющий ту же единицу измерения, что и анализируемый признак. Этот показатель называют среднее квадратическое (стандартное) отклонение, он представляет собой арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:

.                                                          (4.9)

Стандартное отклонение измеряется в единицах измерения рассматриваемого признака и показывает на сколько в среднем отклоняются отдельные значения признака от своего среднего значения.

В научном анализе предпочтительно использование дисперсии, так как она имеет ряд полезных математических свойств, на практике же лучше работать со стандартным отклонением, поскольку эта мера легко интерпретируется.

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеяния в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей).

Коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин, позволяет представить дисперсию как долю от средней величины.

.                                                    (4.10)

Чем меньше значение коэффициента вариации, тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее средняя.[12] В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30-35 %, принято считать неоднородными.