Сечение многогранников плоскостью.

ТЕМА 6. Преобразование комплексного чертежа

ТЕМА 7. Поверхности

Тема 8. Пересечение поверхности проецирующей плоскостью, прямой

 

ТЕМА 9. Пересечение поверхностей

Тема 10. Многогранники.

1. Какие поверхности называют многогранниками?

2. Какие многогранники называют правильными?

3. Какими элементами задаются многогранники на чертеже?

4. Как построить сечение многогранника плоскостью?

5. Какие два способа построения линии взаимного пересечения многогранников

 1.Гранные поверхности на чертеже

1.К гранным относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей m. При этом если одна точка S образующей неподвижна, создается пирамидальная поверхность (рис. 97), если образующая при перемещении параллельна заданному направлению S, то создается призматическая поверхность (рис. 98).

Рис. 97 Пирамидальная поверхность   Рис. 98 Призматическая поверхность

Замкнутые гранные поверхности, образованные некоторым числом (не менее четырех) граней, называются многогранниками. Из числа многогранников выделяют группу правильных многогранников, у которых все грани правильные и конгруэнтные многоугольники, а многогранные углы при вершинах выпуклые и содержат одинаковое число граней. Например: гексаэдр — куб (рис. 99, а), тетраэдр — правильный четырехугольник (рис. 99, 6) октаэдр — многогранник (рис. 99, в). Форму различных многогранников имеют кристаллы.

Рис. 99 Различные многогранники

Пирамида — многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной S.

На комплексном чертеже пирамида задается проекциями ее вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребра определяется с помощью конкурирующих точек (рис. 100).

Рис. 100 Видимость ребра

Призма — многогранник, у которого основание — два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани — параллелограммы. Если ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, такую призму называют прямой. Если у призмы ребра перпендикулярны какой-либо плоскости проекций, то боковую поверхность ее называют проецирующей. На рис. 101 дан комплексный чертеж прямой четырехугольной призмы с горизонтально проецирующей поверхностью.

 

Рис. 101 Призма с горизонтально проецирующей поверхностью

При работе с комплексным чертежом многогранника приходится строить на его поверхности линии, а так как линия есть совокупность точек, то необходимо уметь строить точки на поверхности.

Любую точку на гранной поверхности можно построить с помощью образующей, проходящей через эту точку. На рис. 100 в грани ACS построена точка М с помощью образующей S-5.

2. Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.  Рассмотрим возможные правильные многогранники и прежде всего те из них, гранями которых являются правильные треугольники. Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники (рис. 1,а). В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходится четыре грани, изображен на рисунке 1,в. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому он называется октаэдром.   Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников, изображен на рисунке 1,г. Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, поэтому он называется икосаэдром. Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не может сходиться более пяти правильныхтреугольников, то другихправильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует. Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то, кроме куба (рис. 1,б), других правильных многогранников, у которых гранями являются квадраты не существует. Куб имеет шесть граней и поэтому называется также гексаэдром. Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, и в каждой вершине сходится три грани, изображен на рисунке 1,д. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому он называется додекаэдром. Поскольку в вершинах выпуклого многогранника не могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон больше пяти, то, используя теорему Коши о жесткости выпуклого многогранника, получаем, что других правильных многогранников не существует, и таким образом, имеется только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Сечение многогранников плоскостью.

Плоская фигура, полученная при пересечении любого многогранника плоскостью, представляет собой некоторый многоугольник. Вершины этого многоугольника находятся как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а стороны многоугольника строятся как линии пересечения граней многогранника с секущей плоскостью.

Пересечение поверхностей

Многогранники пересекаются по замкнутым пространственным ломаным линиям, которые могут быть найдены следующим образом:

1. Способ ребер. Находятся точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого.

2. Способ граней. Определяются отрезки прямых, по которым грани одного многогранника пересекаются с гранями другого.

Пример: Построить линию пересечения двух трехгранных призм, одна из которых проецирующая.

В результате пересечения заданных многогранников получается ломаная пространственная линии. Она соединяет соответствующие точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Так как одна из призм проецирующая относительно горизонтальной плоскости проекций, горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальным очерком этой призмы. Искомые точки сечения можно получить, решая задачу на пересечение прямой (ребра) с плоскостью (гранью).

, . , .

Для построения точек пересечения ребра b с гранями призмы, используется горизонтально-проецирующая плоскость .

.

Тема11. Развертки

1. Что называют разверткой поверхности?

2. Какие поверхности –разворачивающиеся, а какие- неразворачивающиеся?

3. Укажите основные свойства разверток

4. Что называется аппроксимацией поверхности?

При построении разверток многогранников придется находить действительную величину ребер и граней этих многогранников с помощью вращения или перемены плоскостей проекций. При построении приближенных разверток для неразвертывающихся поверхностей придется заменять участки последних близкими к ним по форме развертывающимися поверхностями.

Развертка поверхностей любой прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней — прямоугольников и двух оснований — многоугольников.

Например, у развертки поверхностей шестиугольной призмы (рис. 139, б) все грани — равные между собой прямоугольники шириной а и высотой h, а основания — правильные шестиугольники со стороной, равной а.

Рис. Построение чертежа развертки поверхностей призмы: а — два вида; б — развертка поверхностей

Таким образом, можно построить чертеж развертки поверхностей любой призмы.

Развертка поверхностей цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов (рис. 140, б). Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, другая — длине окружности основания. На чертеже развертки к прямоугольнику пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.

Рис. Построение чертежа развертки поверхностей цилиндра: а - два вида; б - развертка поверхностей

 

 

Чертежи разверток поверхностей конуса и пирамиды.

Развертка поверхностей конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из сектора - развертки боковой поверхности и круга - основания конуса (рис. 141, 6).

Рис. Построение чертежа развертки поверхностей конуса: а — два вида; б — развертка поверхностей

Построения выполняются так:

 

1. Проводят осевую линию и из точки s' на ней описывают радиусом, равным длине s'a' образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса. Точку s' соединяют с концевыми точками дуги.
2. К полученной фигуре — сектору пристраивают круг. Диаметр этого круга равен диаметру основания конуса.

Длину окружности при построении сектора можно определить по формуле C = 3.14xD.

Угол а подсчитывают по формуле а = 360°хD/2L, где D — диаметр окружности основания, L —длина образующей конуса, ее можно подсчитать по теореме Пифагора.

Рис.  Построение чертежа развертки поверхностей пирамиды: а — два вида; б — развертка поверхностей

Неразвертывающиеся поверхности - поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

Приближенные – выполненные способом аппроксимации развертки развертываемых поверхностей (цилиндры, конусы