И однородность производственной функции.

 

Функция называется однородной k –ой степени, если справедливо соотношение:

Пусть , тогда

 - однородная функция 1-ой степени.

Пусть , тогда

 - однородная функция 2-ой степени.

Свойство однородности выражает отдачу производственной системы от расширения масштаба производства.

Пропорциональное увеличение всех факторов производства в λ раз для однородной функции не изменит структуру производства, а приведет к равному увеличению всех средних и предельных продуктов.

В общем случае однородная производственная функция удовлетворяет равенству:

,

где δ – степень однородности производственной функции.

Неоклассическая производственная функция является однородной функцией 1-ой степени. В этом случае увеличение масштабов производства, т.е. увеличение всех факторов в λ раз, приводит к пропорциональному увеличению продукта в λ раз.

 - это линейно-однородная функция.

В общем случае для любой однородной дифференцируемой функции со степенью однородности δ справедлива теорема Эйлера:

Для двухфакторной модели:

Перейдем к эластичности по капиталу:

Для неоклассической функции:

Это равенство имеет важный экономический смысл: продукт производится за счет капитала и труда.

Пример.

Производственная система с однородной производственной функцией производит за период

y =200 ед.пр.

K =50 ед.к.

L =10 ед.тр.

Вычислим вклад затрат труда и капитала в произведенный продукт.

 

РЕШЕНИЕ ВОПРОСОВ РАСШИРЕНИЯ ИЛИ СВЕРТЫВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВ.

Для решения проблемы необходимо определить:

1.Как влияет изменение масштаба производства на его эффективность.

2.Как изменится количество производимого продукта при изменении масштаба производства на одну единицу.

Введем средний и предельный продукт масштаба производства.

 - средний продукт масштаба производства.

 - предельный продукт масштаба производства.

Коэффициент эластичности масштаба производства:

Для любой однородной производственной функции сумма коэффициентов эластичности продукта по всем факторам равна коэффициенту эластичности масштаба производства.

Производственные системы с  имеют более высокую эффективность при увеличении масштабов производства, а если , то целесообразно уменьшить размеры предприятия, чтобы повысить производительность системы.

В случае неоклассических производственных функций , , производство инвариантно к изменению масштаба, и выход продукта изменяется пропорционально изменению потребляемых факторов.

Пример.

=δ

Т.е. увеличили масштаб в 2 раза, а производство приблизительно в 3 раза.